Hat jede lineare Funktion eine Nullstelle?

Inhalt

• Einführung: Nullstellen berechnen bei linearen Funktionen
• Nullstellen einer linearen Funktion – Definition
• Nullstellen berechnen – Beispiel
• Besonderheiten
• Hat jede lineare Funktion eine Nullstelle?
• Kann eine lineare Funktion unendlich viele Nullstellen haben?
• Zusammenfassung: Berechnung der Nullstellen einer linearen Funktion

Einführung: Nullstellen berechnen bei linearen Funktionen

Wie finde ich die Nullstellen einer linearen Funktion? Wie viele Nullstellen kann dabei eine lineare Funktion haben? In diesem Text wird einfach erklärt, wie man die Nullstelle einer linearen Funktion $f(x) = mx + b$ bestimmt. Häufig wird im Schulunterricht statt $f( x )$ auch $y$ geschrieben. $f( x )$ bezeichnet eine Vorschrift, die jedem $x$-Wert einer Definitionsmenge einen $y$-Wert aus dem Wertebereich zuordnet. Wir schauen uns zunächst an, was eine Nullstelle für Eigenschaften hat. Anschließend wird anhand eines Beispiels gezeigt, wie man Nullstellen einer linearen Funktion berechnet. Zum Schluss werden Besonderheiten der Nullstellenberechnung bezüglich der Steigung $m$ und des $y$-Achsenabschnitts $b$ erklärt.

Nullstellen einer linearen Funktion – Definition

Als Nullstelle wird die Stelle auf der $x$-Achse bezeichnet, an der die lineare Funktion die $x$-Achse des Koordinatensystems schneidet. An dieser Schnittstelle zwischen $x$-Achse und linearer Funktion ist der $y$-Wert stets null, also $y = 0$.

Nullstellen berechnen – Beispiel

Die allgemeine lineare Funktion lautet $y = mx + b$. Um die Nullstellen einer linearen Funktion zu berechnen, müssen wir also $y = 0$ setzen. In folgendem Beispiel gehen wir das einmal mit der linearen Funktion $y = 2x - 10$ durch.

$\begin{array}{rlll} y & = & 2x - 10 & \\ \\ 0 & = & 2x - 10 & \vert+10 \\ \\ 10 & = & 2x & \vert:2 \\ \\ x & = & 5 & \end{array} $

An diesem $x$-Wert $5$ befindet sich also eine Nullstelle. Das heißt, dass der Graph von $y = 2x - 10$ an dieser Stelle die $x$-Achse schneidet.

Für die allgemeine Funktion einer linearen Gleichung gilt daher:

$\begin{array}{rlll} y & = & mx + b & \\ \\ mx + b & = & 0 & \vert-b \\ \\ mx & = & -b & \vert:m \\ \\ x & = & -\frac{b}{m} & \\ \end{array} $

Besonderheiten

Bei linearen Funktionen und der Berechnung der Nullstellen gibt es einige Besonderheiten bezüglich der Steigung $m$ und des $y$-Achsenabschnitts $b$ zu beachten.

Hat jede lineare Funktion eine Nullstelle?

Nein, denn es gibt lineare Funktionen mit der Steigung $m = 0$ und dem $y$-Achsenabschnitt $b \neq 0$. In diesem Fall handelt es sich dann um eine parallele Gerade zur $x$-Achse und dabei entsteht zu keinem Zeitpunkt ein Schnittpunkt mit der $x$-Achse. Das heißt, es gibt also keine Nullstelle!

Kann eine lineare Funktion unendlich viele Nullstellen haben?

Ja, ist $m = 0$ und $b = 0$, so liegt die Gerade auf der $x$-Achse und hat demnach unendlich viele Nullstellen.

Hier noch einmal ein Überblick:

Zusammenfassung: Berechnung der Nullstellen einer linearen Funktion

In diesem Video zur Berechnung der Nullstellen einer linearen Funktion zeigt dir der Pilotenbär Flo, was eine Nullstelle ist und welche Eigenschaften diese bei linearen Funktionen hat. An einem Beispiel siehst du, wie man die Nullstelle einer linearen Funktion bestimmen kann und am Koordinatensystem erkennt.

Zusätzlich zum Video und dem Text gibt es noch eine Übung zum Thema Lineare Funktion – Nullstellen berechnen hier bei sofatutor.

Wann hat eine lineare Funktion eine Nullstelle?

Wann hat man keine Nullstelle?

Hat jede homogene lineare Funktion eine Nullstelle?

Wie viel Nullstellen kann eine lineare Funktion haben?