Schnittpunkte mit der x-AchseDie Schnittstellen mit der x-Achse werden auch Nullstellen genannt. Um diese zu ermitteln, muss die Funktion gleich null gesetzt werden. Anders gesagt muss der y-Wert den Wert null haben. Wenn wir uns das Koordinatensystem anschauen, ist dies logisch, da die x-Achse auf der Höhe von $y=0$ verläuft. Show
Methode
MethodeHier klicken zum Ausklappen $f(x) = 0 \rightarrow$ Schnittpunkt(e) mit der x-Achse Es gibt je nach Art der Funktion verschiedene Möglichkeiten die Nullstellen zu berechnen. Dazu gehört bei quadratischen Funktionen zum Beispiel die p-q-Formel oder bei Funktionen mit $x^3$ die Polynomdivision. Schnittpunkt mit der y-AchseDie Schnittstelle mit der y-Achse wird auch y-Achsenabschnitt genannt. Wichtig dabei ist, dass es nur einen einzigen Schnittpunkt geben kann. Dies liegt daran, dass jedem x-Wert einer Funktion nur maximal ein y-Wert zuordnet werden kann. Der x-Wert, an dem die Funktion die y-Achse schneidet, ist immer null. MethodeMethodeHier klicken zum Ausklappen $x=0 \rightarrow$ Schnittpunkt mit der y-Achse Beispielaufgabe: Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen bestimmenBeispielBeispielHier klicken zum Ausklappen Was sind die Schnittpunkte der Funktion $f(x) = 2x^2+3x-1$ mit den Koordinatenachsen? x-Achse $f(x) = 0$ $f(x) = 2x^2+x-3 = 0$ Wir lösen die Gleichung mit der Mitternachtsformel $x_1 =-1,5 $ $x_2 = 1$ $P_1(-1,5/0)$ $P_2(1/0)$ $~$ y-Achse $x=0$ $f(0) = 2\cdot 0^2+0-3 = -3$ $f(0)=y =-3$ $P_3(0/-3)$ Die Funktion schneidet die x-Achse an den Punkten $P_1(-1,5/0)$, $P_2(1/0)$ und die y-Achse am Punkt $P_3(0/-3)$. Mit den Übungsaufgaben kannst du dein Wissen überprüfen. Viel Erfolg dabei! Video: Simon Wirth Text: Chantal Rölle Funktionsgraphen haben bestimme Eigenschaften, die sie auszeichnen und vergleichbar mit anderen Funktionsgraphen machen. Im Matheunterricht hast Du vielleicht schon einmal eine Kurvendiskussion durchgeführt. Innerhalb einer solchen Kurvendiskussion untersuchst Du die Eigenschaften von Funktionen. Welche Eigenschaften Funktionsgraphen besitzen und wie Du mit dem Wissen über diese Eigenschaften selbst Funktionsgraphen zeichnen kannst, erfährst Du hier. Funktionsgraphen – GrundlagenwissenIn der Mathematik wird eine Funktion als die Beziehung zwischen zwei Mengen bezeichnet. Bei einer Funktion - einer eindeutigen Zuordnung – wird jedem Element der Definitionsmenge genau ein Element der Wertemenge zugewiesen. Dabei wird die Definitionsmenge klassischerweise als x und die Wertemenge als y bezeichnet.
Daraus entstehen Wertepaare bzw. Punkte, bei denen jedem x-Wert genau ein y-Wert zugeordnet wird. Ein y-Wert kann dagegen mehrere x-Werte haben. Ein Funktionsgraph stellt dabei die Menge dieser Wertepaare grafisch in einem Koordinatensystem dar. In dem Beispiel kannst Du Dir mal den Funktionsgraphen einer quadratischen Funktion anschauen, dessen Eigenschaften im Verlauf dieser Erklärung noch weiter unter die Lupe genommen werden. Der Graph der Funktion sieht wie folgt aus:
Funktionsgraphen – SteigungDie Steigung von Funktionen ist ein Maß dafür, wie steil ein Graph einer Funktion ansteigt bzw. abfällt. Lineare Funktionen kannst Du unter anderem daran erkennen, dass die Steigung, wie der Name schon verraten lässt, linear, also an jedem Punkt auf der Geraden gleich ist. Mathematisch betrachtet entspricht die Steigung m einer linearen Funktion dem Verhältnis aus der Abweichung in y-Richtung zu der Abweichung in x-Richtung. Es gilt somit folgende Gleichung:
Mit einem Steigungsdreieck kannst Du die Steigung einer linearen Funktion visualisieren und die Änderung in x- bzw. in y-Richtung direkt ablesen. Gegeben ist der Graph der linearen Funktion .
Möchtest Du nun die Steigung ablesen, suchst Du Dir zwei Punkte auf dem Graphen, die Du eindeutig bestimmen kannst, hier und . Um von Punkt P zu Q zu gelangen, gehst Du nun zwei Kästchen in x-Richtung nach rechts () und zwei Kästchen in y-Richtung nach oben (). Gemäß der Formel ergibt sich somit folgende Steigung: Die Steigung einer linearen Funktion kannst Du auch in der Funktionsvorschrift direkt ablesen. Sie entspricht immer dem Faktor, welcher vor dem x steht. Die Steigung von Graphen anderer Funktionen kann im Gegensatz zu linearen Funktionen in jedem Punkt unterschiedlich sein. Die Steigung m einer bestimmten Stelle x auf dem Funktionsgraphen entspricht der Steigung der Tangente an dieser Stelle x. Diese Tangente wird durch den Wert der ersten Ableitung an dieser Stelle x beschrieben.
Möchtest Du also die Steigung an einem bestimmten Punkt des Funktionsgraphen bestimmen, bildest Du die Tangente an diesem Punkt. Zur Erinnerung: Bei einer Tangente handelt es sich um eine Gerade, die beispielsweise einen Funktionsgraphen in einem Punkt berührt. Erinnerst Du Dich noch an den Graphen der quadratischen Funktion? Im folgenden Beispiel kannst Du Dir die Steigung an einem bestimmten Punkt dieser Parabel anschauen. Die Abbildung zeigt Dir die Steigung am Punkt der quadratischen Funktion . Die Steigung am Punkt P entspricht dabei nämlich der Steigung der Tangente p.
Die Steigung m der Tangente p kannst Du jetzt wieder mit dem Steigungsdreieck auf grafische Weise bestimmen.
Um von Punkt Q nach P zu gelangen, musst Du 1 Kästchen in x-Richtung nach rechts ( ) und zwei Kästchen in y-Richtung nach oben () gehen. Daraus ergibt sich dann folgende Rechnung. Die Steigung der Tangente entspricht also 2. Somit beträgt die Steigung am Punkt P der Parabel ebenfalls 2. Wenn Du Dich mehr in das Themengebiet der Steigung von Funktionen einlesen möchtest, schau Dir die Erklärung "Monotonieverhalten" an. Die Steigung von Funktionsgraphen bestimmen zu können, ist mitunter besonders wichtig, um Extrempunkte von Funktionsgraphen zu ermitteln. Funktionsgraphen – wichtige PunkteZu den wichtigen Punkten von Funktionsgraphen gehören die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen, also Nullstellen und y-Achsenabschnitt, und die Extrempunkte. Lokale Extrempunkte und SattelpunkteJede ganzrationale Funktion – mit Ausnahme der linearen Funktion – hat mindestens einen lokalen Extrempunkt. Ein Extrempunkt ist ein Punkt auf dem Funktionsgraphen, der in einem bestimmten Intervall entweder der höchste – dann ist von einem Hochpunkt die Rede – oder der niedrigste Punkt ist – einem sogenannten Tiefpunkt. Weiterhin müssen folgende Bedingungen für lokale Extrempunkte gelten: Wie Du bereits gelernt hast, entspricht die Steigung einem Punkt auf einem Funktionsgraphen der Steigung der Tangente an diesem Punkt. Da bei Extrempunkten Punkte auf dem Funktionsgraphen gesucht werden, deren Steigung gleich null ist, handelt es sich bei der Tangente an diesem Punkt um eine zur x-Achse parallele ("waagerechte") Geraden. Was ist also jetzt der Extrempunkt der quadratischen Funktion? Die folgende Abbildung zeigt Dir den Extrempunkt der quadratischen Funktion f.
Wie Du sehen kannst, handelt es sich beim Punkt T um den niedrigsten Punkt auf dem Funktionsgraphen, also um einen Tiefpunkt. Dass die notwendige Bedingung zutrifft, erkennst Du daran, dass die Tangente t an diesem Punkt keine Steigung hat und somit parallel zur x-Achse liegt. Bei der hinreichenden Bedingung musst Du darauf achten, dass der Funktionsgraph unmittelbar nach dem Extrempunkt T die Tangente in diesem Punkt nicht erneut schneidet, sondern sich die Richtung der Steigung ändert. Ansonsten handelt es sich um einen sogenannten Sattelpunkt. Sattelpunkte teilen sich nämlich mit den Extrempunkten die notwendige Bedingung. Sattelpunkte werden auch als Terrassenpunkte bezeichnet. Für sie gelten folgende Bedingungen: Um Extrempunkte von Sattelpunkten zu unterscheiden, kannst Du wie folgt vorgehen:
Aufgabe 1 Kennzeichne die lokalen Extrempunkte, also Hochpunkt H und Tiefpunkt T sowie den Sattelpunkt S am folgenden Funktionsgraphen f.
Lösung Wie im Beispiel zuvor suchst Du den Funktionsgraphen nach Punkten ab, die eine Steigung von null haben. An diesen Punkten zeichnest Du dann die Tangenten an und überprüfst die hinreichende Bedingung.
Wie Du erkennen kannst, schneidet die Tangente s unmittelbar nach dem Punkt S den Funktionsgraphen. Somit handelt es sich dabei um den Sattelpunkt S. Bei den Punkten H und T ist dies nicht der Fall, da sich dort die Richtung der Steigung ändert. Punkt T ist also ein lokaler Tiefpunkt, während Punkt H ein lokaler Hochpunkt ist. Mehr Inhalte zu Extrempunkten sowie Sattelpunkten findest Du in der Erklärung "Extremwertberechnung". NullstellenUm wichtige Aufgaben der Analysis lösen zu können, ist die Berechnung der Nullstellen ein essenzieller Bestandteil. Eine Nullstelle einer Funktion f(x) ist eine Zahl a aus der Definitionsmenge der Funktion, für die gilt . Rein grafisch betrachtet, ist eine Nullstelle x der Schnittpunkt einer Funktion f(x) mit der x-Achse im Koordinatensystem. Unterschiedliche Funktionen können eine unterschiedliche Anzahl von Nullstellen haben. Die maximal mögliche Anzahl von Nullstellen hängt von dem Grad der Funktion, also der Höhe des größten Exponenten der Funktion, ab. Eine Funktion ersten Grades kann maximal eine Nullstelle haben. Quadratische Funktionen (Funktionen zweiten Grades) haben maximal zwei Nullstellen. In der Abbildung 3 kannst Du die Nullstellen und einer quadratischen Funktion f(x) sowie die Nullstelle einer linearen Funktion g(x) sehen.
Wenn Du mehr zu dem Berechnen von Nullstellen verschiedener Funktonen lernen möchtest, schau in der Erklärung "Nullstellen berechnen" vorbei. y-AchsenabschnittDer y-Achsenabschnitt einer Funktion ist ebenfalls ein wichtiger Bestandteil der Analysis. Der y-Achsenabschnitt ist der Schnittpunkt einer Funktion f(x) mit der y-Achse. Für eine Funktion f(x) entspricht der y-Achsenabschnitt der folgenden Gleichung:
Funktionen können die y-Achse höchstens einmal schneiden. Die allermeisten Funktionen haben somit einen y-Achsenabschnitt. Betrachtet werden erneut die beiden Funktionen aus dem vorigen Beispiel. In der Abbildung kannst Du sehen, dass der y-Achsenabschnitt von der quadratischen Funktion f(x) und von der linearen Funktion g(x) ist.
Wenn Du mehr über den y-Achsenabschnitt von Funktionen lernen möchtest, schau Dir die Erklärung "y-Achsenabschnitt" an. Symmetrie von FunktionsgraphenFunktionsgraphen haben verschiedene symmetrische Eigenschaften. Es wird hierbei zwischen einer Achsensymmetrie und Punktsymmetrie unterschieden. Wenn Funktionsgraphen an bestimmten Achsen oder Punkten im Koordinatensystem gespiegelt werden können und derselbe Graph dabei herauskommt, dann ist die Funktion symmetrisch. Dabei ist eine Funktion achsensymmetrisch, wenn Du sie an einer Achse (meistens der y-Achse) spiegeln kannst, und punktsymmetrisch, wenn sich die Funktion an einem Punkt spiegelt (meistens am Ursprung).
Wie Du die Symmetrie von Funktionen auf rechnerische Art und Weise nachweisen kannst, erfährst Du in der Erklärung "Symmetrie von Funktionsgraphen". Funktionsgraphen – PeriodizitätEine weitere Eigenschaft, die Funktionsgraphen haben können, ist die Periodizität. DiePeriodizitätin der Mathematik beschreibt Funktionen, bei denen sich die Funktionswerte bzw. y-Werte in regelmäßigen Abständen wiederholen. Die Graphen von periodischen Funktionensind verschiebungssymmetrisch, d.h. die Funktionswerte überdecken sich bei einer Verschiebung in x-Richtung durch den Parameter bzw. . EineFunktionist somit periodisch, wenn folgendes gilt: Zu den bekanntesten periodischen Funktionen gehören die Sinus- und Kosinusfunktion. Die beiden Funktionen haben die Periode . Das heißt, jeder y-Wert wiederholt sich in einem Abstand von . Die Abbildung 15 zeigt den Graphen der Sinusfunktion .
Die Punkte A, B und C haben alle denselben y-Wert. Rechnerisch kannst Du das wie folgt nachvollziehen. Wenn Du tiefer in das Thema der Periodizität von Funktionsgraphen eintauchen möchtest, schau Dir die Erklärung dazu an. Funktionsgraphen zeichnenNachdem Du nun Eigenschaften von Funktionsgraphen kennengelernt hast, geht es jetzt im nächsten Abschnitt darum, wie Du Graphen von Funktionen selbst zeichnen kannst. Dabei können Dir Informationen zu den Eigenschaften wie der Symmetrie, den Schnittpunkten mit den Koordinatenachsen oder lokale Extrempunkte von Funktionen helfen, um den Funktionsgraphen in groben Zügen zu zeichnen. Willst Du den Funktionsgraphen detailliert zeichnen, kannst Du eine Wertetabelle der Funktion erstellen. WertetabelleBei einer Funktion wird jedem x-Wert ein y-Wert zugeordnet, daher ist die Wertetabelle ein praktisches Hilfsmittel, um Funktionsgraphen zu zeichnen. In einer Wertetabelle werden ausgewählte x-Werte des Definitionsbereichs der Funktion und die durch eine Funktionsvorschrift zugeordneten y-Werte (Funktionswerte) aus dem Wertebereich gemeinsam aufgeschrieben. Du erstellst eine Wertetabelle, indem Du in Deine vorgegebene Funktion f(x) mehrere x-Werte einsetzt. Diese x-Werte sind eine Zeile Deiner Tabelle. Die sich daraus ergebenen y-Werte bilden die darunter stehende Zeile der Wertetabelle. Spaltenweise hast Du also immer ein Wertepaar aus x- und y-Wert. Aufgabe 2 Zeichne die Funktion . Lösung Schritt 1 Zunächst setzt Du in die Funktion verschiedene x-Werte ein, um den passenden y-Wert zu erhalten. Dabei ist es egal, welche x-Werte Du einsetzt, solange sie Teil der Definitionsmenge sind. Du solltest aber darauf achten, sie kleinschrittig zu wählen. Setzt Du beispielsweise den x-Wert 2 in die Funktion f(x) ein, ergibt sich die folgende Gleichung. Damit hast Du Dein erstes Wertepaar berechnet. Das Gleiche machst Du jetzt auch mit anderen x-Werten, woraus sich dann die folgende Wertetabelle ergibt.
Schritt 2 Nun kannst Du die Punkte in ein Koordinatensystem einzeichnen und eine Gerade ziehen.
Wenn Du noch mehr über Wertetabellen erfahren möchtest, dann schau Dir die Erklärung "Wertetabelle" an. Parabel einer quadratischen Funktion zeichnenMöchtest Du den Funktionsgraphen einer quadratischen Funktion zeichnen, kannst Du dabei die Eigenschaften ausnutzen, die für Parabeln im Allgemeinen gelten. Der Graph einer quadratischen Funktion heißt Parabel. Eine Parabel hat folgende Eigenschaften:
Beim Zeichnen der Parabel einer gegebenen Funktion kannst Du jetzt wie folgt vorgehen:
Wie sieht das Ganze jetzt mit konkreten Werten aus? Aufgabe 6 Zeichne die Parabel zu der folgenden quadratischen Funktion mit dem Scheitelpunkt : Lösung Schritt 1: Bestimmen der Nullstellen Um die Nullstellen zu bestimmen, setzt Du die Funktion f(x) gleich null und löst sie nach x auf. Dabei kannst Du z.B. die pq-Formel oder Mitternachtsformel zur Hilfe ziehen. Diese beiden Nullstellen kannst Du Dir jetzt schon einmal in einem Koordinatensystem markieren.
Schritt 2: Bestimmen des y-Achsenabschnitts Den y-Achsenabschnitt y0 kannst Du bei einer quadratischen Funktion in allgemeiner Form direkt ablesen. Zur Erinnerung: Bei einer quadratischen Funktion in der allgemeinen Form ist das absolute Glied c der y-Achsenabschnitt. Auch diesen Punkt trägst Du jetzt mit in das Koordinatensystem ein.
Schritt 3: Bestimmen vom Scheitelpunkt In dieser Aufgabe ist der Scheitelpunkt S bereits angegeben. Andernfalls müsstest Du die Funktion f von der allgemeinen Form in die Scheitelpunktform umwandeln, um dann den Scheitelpunkt direkt ablesen zu können. Wie Du eine quadratische Funktion in die Scheitelpunktform umwandeln kannst, erfährst Du in dem Artikel "Scheitelpunkt berechnen". Gemäß der Aufgabenstellung liegt der Scheitelpunkt bei . Mit diesem Punkt kannst Du jetzt Dein Koordinatensystem ergänzen.
Jetzt hast Du bereits einen groben Überblick darüber, wie die Parabel im Koordinatensystem verläuft. Schritt 4: Bestimmen von weiteren Punkten Um die Parabel möglichst genau in das Koordinatensystem einzuzeichnen, kannst Du jetzt noch weitere Punkte ermitteln, indem Du wie bei der Aufgabe 5 Werte in die Funktion f(x) einsetzt. Dabei kannst Du einen Trick anwenden, der Dir etwas Zeit erspart. Dadurch, dass Parabeln am Scheitelpunkt S eine senkrechte Spiegelachse haben, werden jedem y-Wert genau zwei x-Werte auf der Parabel zugeordnet, die jeweils den gleichen Abstand zur Spiegelachse haben. Bei der Wahl der x-Werte, die Du in die Funktion f(x) für weitere Punkte einsetzt, hast Du freie Wahl. Hier wird als Beispiel der x-Wert -1 gewählt. Nun trägst Du auch diesen Punkt in das Koordinatensystem ein. Damit Du diesen Punkt P jetzt richtig spiegelst, zeichnest Du Dir am besten die Spiegelachse in einer gestrichelten Linie mit in das Koordinatensystem ein. Anhand dieser Achse kannst Du jetzt die übrigen Punkte spiegeln.
Wie Du sehen kannst, ist der Punkt P links von der Spiegelachse und drei Kästchen von der Spiegelachse entfernt. Der Punkt Pgespiegeltliegt mit demselben Abstand von drei Kästchen rechts von der Spiegelachse. Schritt 5: Punkte im Koordinatensystem verbinden Als letzten Schritt verbindest Du nun die Punkte. Hab dabei immer die Eigenschaften, die für alle Parabeln im Allgemeinen gelten, im Hinterkopf.
Hat das Zeichnen dieser Parabel Dein Interesse geweckt? Dann schau Dir die Erklärung "Graphen zeichnen" an. Dort findest Du auch weitere Übungsaufgaben zu diesem Thema. Funktionsgraphen – Das WichtigsteNachweise
Wie heissen Funktionen deren Graph eine Gerade ist?Die Geraden f, g und q sind die Graphen linearer Funktionen. Die Graphen von f, g und q sind Geraden. Die Gerade q verläuft parallel zur x-Achse, jedem x-Wert wird der y-Wert 3 zugeordnet. Es handelt sich um den Graphen einer konstanten linearen Funktion.
Wann ist eine Gerade linear?Der Graph einer linearen Funktion ist immer eine Gerade, dies liegt daran, dass das Verhältnis der zwei Variablen antiproportional ist. Der Graph einer linearen Funktion ist immer eine Gerade, dies liegt daran, dass das Verhältnis der zwei Variablen proportional ist.
Wann ist eine Gerade fallend?Je größer die Steigung, desto steiler ist die Gerade. Wenn die Steigung negativ ist, fällt die Gerade.
Welche Gerade ist keine Funktion?Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen
Einen Schnittpunkt x 0 | 0 mit der x-Achse gibt es dann, wenn m≠0. Für m=0 ist der Graph eine Gerade parallel zur x-Achse. Eine Gerade, die parallel zu y-Achse verläuft, ist kein Funktionsgraph. Zu einem x-Wert gehören in diesem Fall mehrere y-Werte.
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Wie nennt man eine Gerade wenn Sie einen funktionsgraphen berührt und nicht schneidet?
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