Die Ähnlichkeit im mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra ist eine Äquivalenzrelation auf der Klasse der quadratischen Matrizen. Ähnliche Matrizen beschreiben dieselbe lineare Abbildung (Endomorphismus) bei Verwendung unterschiedlicher Basen. Show DefinitionZwei quadratische Matrizen über dem Körper heißen zueinander ähnlich, wenn es eine reguläre Matrix gibt, sodassoder äquivalent gilt. Die Abbildung heißt Ähnlichkeitsabbildung oder Ähnlichkeitstransformation. Ist eine Matrix einer Diagonalmatrix ähnlich, so heißt sie diagonalisierbar, ist sie einer oberen Dreiecksmatrix ähnlich, so heißt sie trigonalisierbar. BeispielDie beiden reellen Matrizen sind zueinander ähnlich, denn mit der regulären Matrix gilt .Die Matrix ist dabei nicht eindeutig bestimmt, denn auch jedes Vielfache mit erfüllt diese Identität. EigenschaftenKenngrößenZwei zueinander ähnliche Matrizen haben das gleiche charakteristische Polynom, denn es gilt mit der Kommutativität der Einheitsmatrix , dem Determinantenproduktsatz und der Determinante der Inversen Daher haben zueinander ähnliche Matrizen
Außerdem haben zueinander ähnliche Matrizen
CharakterisierungZwei komplexe Matrizen sind genau dann zueinander ähnlich, wenn sie (bis auf die Reihenfolge der Jordanblöcke) die gleiche jordansche Normalform haben. Allgemein sind nach dem Lemma von Frobenius zwei Matrizen und genau dann zueinander ähnlich, wenn sie die gleiche Frobenius-Normalform besitzen. Das ist genau dann der Fall, wenn ihre charakteristischen Matrizen und die gleiche Smith-Normalform aufweisen. ÄquivalenzklassenDie Ähnlichkeit von Matrizen ist eine Äquivalenzrelation, also reflexiv symmetrisch und transitiv. Man schreibt ,wenn und zueinander ähnlich sind und notiert die zu einer Matrix zugehörige Äquivalenzklasse durch .Zum Beispiel besteht die Äquivalenzklasse der zu einem Vielfachen der Einheitsmatrix ähnlichen Matrizen aus genau einem Element , denn für alle regulären Matrizen . Die Ähnlichkeit von Matrizen ist ein Spezialfall der allgemeiner definierten Äquivalenz auf der Klasse der -Matrizen. Berechnung der TransformationsmatrixVorgehensweiseSind zwei zueinander ähnliche Matrizen gegeben, so lässt sich eine Matrix , mit der gilt, folgendermaßen ermitteln. Zunächst werden die beiden Matrizen und in die gleiche Frobenius-Normalform (oder, falls möglich, die gleiche Jordan-Normalform) überführt. Sind die beiden hierzu verwendeten Ähnlichkeitstransformationen undmit regulären Matrizen , so folgt daraus durch Gleichsetzen .Die gesuchte Transformationsmatrix ist demnach .BeispielSeien die beiden -Matrizen und wie im obigen Beispiel gegeben. Die charakteristischen Polynome der beiden Matrizen ergeben sich zu und .Die beiden charakteristischen Polynome stimmen also überein, wobei die Eigenwerte und sind. Nachdem das charakteristische Polynom vollständig in reelle Linearfaktoren zerfällt, lässt sich zu beiden Matrizen die gleiche Jordan-Normalform aufstellen, die in diesem Fall die Diagonalgestalt hat. Die Transformationsmatrizen in die Jordan-Normalform haben dabei die Form und , wobei jeweils Eigenvektoren zum Eigenwert und jeweils Eigenvektoren zum Eigenwert sind. Für ergeben sich zwei Eigenvektoren durch Lösung von und als und .Entsprechend ergeben sich für zwei Eigenvektoren durch Lösung von und als und .Die beiden Transformationsmatrizen in die Jordan-Normalform sind demnach undund die gesuchte Ähnlichkeitstransformationsmatrix ist damit .Siehe auch
Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de Seite zurück© biancahoegel.de Datum der letzten Änderung: Jena, den: 02.10. 2017 Wann sind zwei Matrizen ähnlich?Zwei komplexe Matrizen sind genau dann zueinander ähnlich, wenn sie (bis auf die Reihenfolge der Jordanblöcke) die gleiche jordansche Normalform haben. die gleiche Smith-Normalform aufweisen.
Wann ist eine Matrix äquivalent?Zwei Matrizen vom gleichen Typ und demselben Rang sind äquivalent.
Wann ist eine Abbildung Injektiv Matrix?Kern, Bild, Rang
Genau dann ist fA injektiv, wenn die Spalten von A linear unabhängig sind. Genau dann ist fA surjektiv, wenn die Spalten von A den Raum Km erzeugen. Genau dann ist fA bijektiv (also ein Isomorphismus, wenn die Spalten von A eine Basis bilden, also genau dann, wenn die Matrix A invertierbar ist.
Wann ist eine Matrix eine lineare Abbildung?Bei einer linearen Abbildung gilt stets, dass 0 in Rn auf 0 in Rm abgebildet wird. Lineare Abbildungen werden also durch Matrizen beschrieben. Umgekehrt beschreibt jede Matrix eine lineare Abbildung. Ist A eine m × n-Matrix, so definiert diese eine lineare Abbildung T : Rn −→ Rm durch T( x) = A x.
|