Was beduetet wenn die ableitung gleich null

Die Ableitung einer Funktion bildet die Steigung der Funktion in einer weiteren Funktion ab. Um dies zu verdeutlichen, schauen wir uns zwei Beispiele an. Beginnen wir mit einem einfachen Beispiel: Die lineare Funktion $f(x) = 3x+5$ hat in jedem Punkt die Steigung $3$. Damit ist die Ableitung der Funktion $f'(x) = 3$. Die Steigung ist in jedem Punkt gleich.

Bei quadratischen Funktionen wird es schon etwas schwieriger, da hier die Steigung in jedem Punkt unterschiedlich ist. Die Normalparabel hat die Funktion $g(x) = x^2$. Die zugehörige Ableitung lautet: $g'(x) = 2x$. Betrachten wir dies in einer Abbildung:

Abbildung: Funktion $g(x) = x^2$ und deren Ableitung $g'(x) = 2x$

Wir sehen die Funktion in Grün und deren Ableitung in Rot. Also beschreibt die rote Funktion die Steigung der grünen Funktion in jedem Punkt. Nehmen wir den Punkt $P(0/0)$. Die Funktion hat hier einen Tiefpunkt. Die Steigung ist an dieser Stelle gleich null. Vergleichen wir dies mit der Ableitungsfunktion, dann erkennen wir, dass die rote Funktion an der Stelle $x=0$ den y-Wer $0$ hat. Also kann man durch Ablesen der Punkte der Ableitung die Steigung im zugehörigen Punkt bestimmen. Die y-Werte der Ableitungsfunktion entsprechen der Steigung der Ausgangsfunktion in den dazugehörigen x-Werten.

Betrachten wir einen weiteren Punkt: $Q(1/1)$. Welche Steigung hat die Normalparabel in diesem Punkt? 

Diese Steigung können wir am roten Graphen ablesen. Er hat an der Stelle $x = 1$ den Wert $2$. Also ist die Steiung der Parabel an der Stelle $1$ gleich $2$.

Da die Ableitung Informationen über die Steigung liefert, können damit folgende Dinge bestimmt werden:

• Ist $f'(x_1)\textcolor{red}{=}0$ dann ist $f(x)$ an der Stelle $x_1$ waagerecht.
• Ist $f'(x_2)\textcolor{blue}{>}0$ dann ist $f(x)$ an der Stelle $x_2$ monoton steigend.
• Ist $f'(x_3)\textcolor{orange}{<}0$ dann ist $f(x)$ an der Stelle $x_3$ monoton fallend.

Bedeutung der zweiten Ableitung

Die zweite Ableitung bildet die Steigung der ersten Ableitung ab. Wir bestimmen sie, indem wir die Funktion der ersten Ableitung ableiten. Für die beiden oberen Beispiele bedeutet dies:
lineare Funktion: $f'(x) = 3, f''(x) = 0$
quadratische Funktion $f'(x) = 2x, f''(x) = 2$

Hochpunkt, Tiefpunkt und Sattelpunkt berechnen

An der Stelle, wo der Graph waagerecht ($f'(x) = 0$) verläuft, liegt entweder ein Hoch-, Tief- oder Sattelpunkt. Um diesen Punkt zu bestimmen, geht man wie folgt vor:

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Vorgehensweise Hochpunkt, Tiefpunkt oder Sattelpunkt bestimmen:

1. Die erste und zweite Ableitung der Funktion bestimmen.
2. Die erste Ableitung gleich null setzten und die Lösungen für $x$ bestimmen.
3. Die zuvor berechneten Werte in die zweite Ableitung einsetzten, für das jeweilige Ergebnis gilt:

• $f''(x) < 0 \rightarrow$ Hochpunkt
• $f''(x) > 0 \rightarrow$ Tiefpunkt
• $f''(x) = 0 \rightarrow$ Sattelpunkt (notwendiges Kriterium)

Hochpunkt, Tiefpunkt und Sattelpunkt

Ableitungsregeln in Mathe

Hier erhältst du eine Übersicht über die gängigen Ableitungsregeln. Möchtest du darüber mehr erfahren, klicke hier: Ableitungsregeln

Hier klicken zum Ausklappen

Potenzregel: $f(x)= x^n~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ \rightarrow~~ f'(x)= n \cdot x ^{n-1}$

Faktorregel: $f(x)= k \cdot g(x) ~~~~~~~~~~~~~~\rightarrow~~ f'(x)= k \cdot g'(x)$

Summenregel: $f(x)=g(x)+k(x) ~~~\rightarrow ~~f'(x)= g'(x)+k'(x)$

Produktregel: $f(x) = u(x) \cdot v(x)~~~~~~~ \rightarrow~~ f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)$

Kettenregel: $f(x)= u(b(x)) ~~~~~~~~~~~~~~\rightarrow~~ f'(x)= u'(b(x)) \cdot b'(x)$

Quotientenregel: $f(x)= \frac{u(x)}{v(x)}~~~~~~~~~~~~ \rightarrow~~ f'(x)= \frac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{v(x)^2}$

Mit den Übungsaufgaben kannst du dein Wissen über die Bedeutung von Ableitungen im Sachzusammenhang weiter vertiefen. Viel Erfolg dabei!

ic weiß nicht, ob die Frage hier schon mal gestellt wurde aber ich würde gern wissen was passiert, wenn die dritte Ableitung gleich null ist. Ich weiß, dass wenn die zweite Ableitung gleich null ist, ein Sattelpunkt vorliegen könnte aber was ist mit der dritten Ableitung?

Ich habe ein Video von D.Jung geguckt aber ich habe das nicht wirklich verstanden. 

Wenn die dritte Ableitung gleich null ist, dann hat man f'''(x)=0 und somit f''(x)=b (oder f''(x)=0 aber das würde dann gar nicht funktionieren, weil die erste Ableitung auch 0 sein müste und die Funktion selber auch).

Dadurch, dass man f''(x)=b hat, müssten dann f'(x)=mx+b sein. Die Funktion an sich müsste dann eine Potenzfunktion sein.

Ich verstehe jetzt nicht, warum die dritte Ableitung nicht gleich 0 sein darf bzw. wo da der Zusammenhang mit dem Wendepunkt ist.

P.S. Ich habe das ein bisschen kompliziert erklärt aber guckt das Video, wenn ihr nicht wisst, was ich meine. (https://www.youtube.com/watch?v=ftHcJuOqZxM)

Analysis

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gefragt 08.04.2019 um 13:18

sv
Punkte: 50

Hast du eine Beispielaufgabe dazu?

Nein, das ist nur eine theoretische Frage. Im Abitur kommt das so gut wie nie vor.

Bin kein Mathegenie, aber
wenn f''(x) = b
dann f'(x) = b * x
und f(x) = b/2 * x²
oder liege ich falsch???   ─   anonym45e3e 23.09.2022 um 00:56

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1 Antwort

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Hallo,

das ist ein Kriterium für Extremstellen, Wendepunkte können nämlich als Extrempunkte der Ableitung gedeutet werden. Wenn die dritte Ableitung an der potentiellen Wendestelle von verschieden ist, liegt eine Wendestelle vor. Ist sie aber 0, lässt sich daraus keine Aussage treffen (in der Schule wird aber oft das direkt als "keine Wendestelle" abgestemeplt, um die Rechnung zu erleichtern) und man müsste Vorzeichenwechsel der zweiten Ableitung untersuchen.

Wenn f'''(x)=0 für alle x gilt, dann stimmt deine Lösung (dieser Differentialgleichung). Beachte aber das f''(x)=0 auch eine Lösung ist, da 0'=0. Wenn es um Wendestellen geht, wird aber die dritte Ableitung nicht die 0 Funktion sein (da, wie du richtig fest gestellt ist, das die Ableitungsfunktion von einer quadtratischen Funktion wäre, die keine Wendestelle hat).

Was bedeutet Ableitung gleich Null?

Was wenn zweite Ableitung gleich 0?

Wann ist eine Ableitung Null?

Was bedeutet 3 Ableitung gleich 0?