Bezeichnen wir die Eckpunkte des Trapezes der Reihe nach mit, wobeimit der Längeundmit der Längedie parallelen Seiten seien. Man führt zwei linear unabhängige Vektoren ein, z.B. und drückt die Vektoren, die durch die Strecken, deren Teilverhältnis zu berechnen ist, bestimmt sind, damit aus: (Teilt man den Vektordurch seine Länge, so bekommt er die Länge 1, anschließende Multiplikation mitbringt ihn auf die Länge, wie man es fürbraucht.) Ist jetztder Teilungspunkt der Diagonalen, so muß es Skalaregeben mit Jetzt suche eine geschlossene Vektorkette, so daß duin die Rechnung bekommst, und drücke alle Vektoren darin durchundaus. Bringe die Gleichung auf die Gestalt: und verwende die lineare Unabhängigkeit von. Hinweis: Die Aufgabe läßt sich mit Elementargeometrie viel leichter lösen: Die Figurist eine sogenannte X-Figur: Strahlensatz! Wie du das mit A, B, C, D angegangen hast, ist für mich nicht verständlich und sicher auch nicht richtig. Was sind denn eigentlich A, B, C, D? Du kannst dies auch hier durchaus mit linear unabhängigen Vektoren lösen, dazu geben wir das ebene Viereck mittels dreier Vektoren an, der restliche vierte hängt von diesen ab und lässt sich mittels dieser berechnen. Von den drei Vektoren sind zwei sicher linear unabhängig. Setze z.B. (alles sind Vektoren) AB = a, BC = b, AD = d; daraus ist CD = d - a - b M1 .. M4 sind die Mittelpunkte auf a, ... d Dann kann man ausrechnen, dass M1M2 = b/2 + d/2 und M3M4 = d/2 - a - b/2 Nun ist wieder ein geschlossener Vektorzug realisierbar a/2 + r(b/2 + d/2) + s(d/2 - a - b/2) - d/2 = 0 ... (a/2)(1 - 2s) + (b/2)(r - s) + (d/2)(r + s - 1) = 0 ... _________________ Wenn du die Tatsache des Paralleleogrammes beweisen willst, kannst du mit den obigen Bezeichnungen beispielsweise M1M4 = d/2 - a/2 und M2M3 = d/2 - a/2 - b/2 + b/2 = d/2 - b/2 sofort ermitteln, analog geht das mit M1M2 und M3M4 ... _________________ Andererseits könnten auch die Eckpunkte in der Ebene mit A(a1;a2), B(b1;b2), C(c1;c2) und D(d1;d2) bezeichnet werden. Dann ist M1( (a1+b1)/2) ; (b1+c1)/2 ), M2 .... usw. Es ist in der Folge leicht zu berechnen, dass die Vektoren M1M2 und M3M4 parallel zur Diagonalen AC bzw. M2M3 und M1M4 parallel zur Diagonalen BD sind. mY+ Zitat:Dann kann man ausrechnen, dass M1M2 = b/2 + d/2 und M3M4 = d/2 - a - b/2 Ich nicht wie kommst du darauf ??? Wo liegen denn M1 - M4 überhaupt ??? Weil wenn es der Reihenfolge nach wäre, könnte man aus M1M2 und M3M4 so wie ich das sehe keinen geschlossen Vektorenzug bilden bzw. keinen der weiterhilft. Nehme ich also an das M1 auf M3 auf c liegt usw. , dann ist mir M3M4 zwar klar aber wie man auf M1M2 = b/2 + d/2 kommt ist mir nicht klar. Sollte es nicht M1M2 = 1,5 d - a - 0,5 b sein ??? Zitat:M2M3 = d/2 - a/2 - b/2 + b/2 = d/2 - b/2 Wie du darauf kommst versteh ich auch nicht. Dass müssten ja M von d und M von c sein. Tut mir leid ich bin etwas verwirrt.  lg Felix Obwohl ich schon (fast) auf Reisen bin, muss ich doch noch hier antworten, weil du nämlich Recht hast. So wie ich die Faktoren Null gesetzt habe, ist dies nicht zulässig, den in der Gleichung befindet sich ja auch noch der Vektor d, und dieser ist von a, b linear abhängig. Daher bleibt uns zunächst nur übrig, den Beweis auf den anderen bereits angegebenen Wegen zu erledigen. Man kann aber dennoch auch auf dem ersten Weg zu einem Ergebnis kommen, wenn auch mit mehr Aufwand. Wir setzen den Vektor d = u.a + v.b, wobei u, v feste Faktoren sind, die die lineare Abhängigkeit des d von a,b kennzeichnen. Somit wird d in der Gleichung überall durch eine Linearkombination von a, b ersetzt. Dann ist (a/2)(1 - 2s) + (b/2)(r - s) + (a/2)(r + s - 1)u + (b/2)(r + s - 1)v Ordnen nach a, b, JETZT sind die Faktoren bei a, b dort wirklich Null, weil a, b lin. unabhängig sind. ..... ur + (u - 2)s = u - 1 (1 + v)r + (v - 1)s = v --------------------------------- Da u, v feste Parameter sind, kann in obigen System ein Koeffizientenvergleich nach u und auch nach v durchgeführt werden: r + s = 1 2s = 1 ---------------- oder r + s = 1 r - s = 0 ---------------- In beiden Fällen erhalten wir r = s = 1/2 und dies ist auch die Lösung des lGS nach r, s. mY+ Was man unter der Kongruenz bzw. den Kongruenzsätzen versteht, wird hier einfach erklärt. Das Zeichnen von Dreiecken mit einem Kongruenzsatz findet ihr hingegen unter Dreieck zeichnen. Dies sehen wir uns an: Show
Tipp: Wer lernen möchte mit den Kongruenzsätzen Dreiecke zu zeichnen, der findet Erklärungen und Beispiele dazu unter Dreieck konstruieren (zeichnen). Erklärung KongruenzsätzeWas ist überhaupt Kongruenz und was macht man damit? Hinweis: Zwei Dreiecke sind kongruent zueinander, wenn diese Deckungsgleich sind. Von einem Dreieck zum anderen Dreieck kommt man durch drehen, verschieben oder spiegeln. Die Regeln für Kongruenz fasst man mit vier Kongruenzsätzen zusammen. Beispiel Kongruenz: Die beiden folgenden Dreiecke sind kongruent zueinander, denn man kommt von einem Dreieck zum anderen durch Verschieben und Drehen. Sehen wir uns die vier Kongruenzsätze mit Beispiel einmal an. Kongruenzsatz SSS mit Beispiel: Beginnen wir mit dem Kongruenzsatz SSS. Dieser besagt, dass wenn alle drei Seiten der Dreiecke übereinstimmen, dass diese kongruent sind. Beispiel: Wir haben ein Dreieck, von dem die Länge aller drei Seiten bekannt sind. Dieses drehen und verschieben wir einfach und erhalten zwei Dreiecke, die zueinander kongruent sind. Beispiele KongruenzsätzeIn diesem Abschnitt sehen wir uns drei weitere Kongruenzsätze mit Beispiel an. Kongruenzsatz SWS mit Beispiel: Sehen wir uns als nächstes den Kongruenzsatz SWS an. Bei diesem geht es darum, dass zwei Seiten und der dabei eingeschlossene Winkel übereinstimmen. Die nächste Grafik zeigt so zwei unvollständige Dreiecke. Ist dies der Fall und man zeichnet die Dreiecke fertig, sind diese ebenfalls kongruent zueinander. Grund dafür ist, dass die drei Seiten gleichlang sind bei beiden Dreiecken und alle Winkel ebenfalls entsprechend gleich groß. Kongruenzsatz WSW mit Beispiel: Der dritte Fall ist der Kongruenzsatz WSW. Dabei müssen zwei Winkel und die eingeschlossene Seite übereinstimmen. Die nächste Grafik zeigt wieder zwei unvollständige Dreiecke. Hier ist eine Seite gegeben und zwei Winkel sind angedeutet. Zeichnet man die Dreiecke fertig, erhält man ebenfalls zwei zueinander kongruente Dreiecke. Diese sind gegenüber der vorigen Grafik verschoben, damit das Bild nicht zu groß wird. Kongruenzsatz SSW mit Beispiel: Der letzte Kongruenzsatz ist SSW. Hier sind zwei Dreiecke kongruent zueinander, wenn zwei Seiten und der der längeren Seite gegenüberliegende Winkel übereinstimmen. Die nächste Grafik zeigt eine lange Seite in rot und eine kürzere Seite in blau. Außerdem ist ein Winkel bekannt, welcher der längsten Seite (rot) gegenüberliegt. Zeichnet man die Dreiecke fertig, erhält man ebenfalls zwei zueinander kongruente Dreiecke. Aufgaben / Übungen KongruenzsätzeAufgabe 1: Bevor es direkt ans Zeichnen geht ein paar grundlegende Fragen. Wie viele Seiten hat ein Dreieck? Du hast 0 von 6 Aufgaben erfolgreich gelöst. Anzeigen:Videos KongruenzsätzeVideo SWWIn diesem Video wird anhand eines Beispiels erklärt, wie ein Dreieck nach SWW konstruiert wird:
Als Hilfsmittel für dieses Video empfehlen wir euch ein Geodreieck, ein Zirkel, einen spitzen Bleistift und kariertes Papier. Video-Quelle: Youtube.com Nächstes Video » Fragen mit Antworten KongruenzsätzeIn diesem Abschnitt sehen wir uns Fragen mit Antworten zu den Kongruenzsätzen an. F: Gibt es den Kongruenzsatz WWW? A: Nein. Bei drei Winkeln gibt es keine Kongruenz. Grund dafür ist, dass die Dreiecke trotz drei gleich großer Winkel eine unterschiedliche Größe haben können. F: Kann ich mit den Kongruenzsätzen auch Dreiecke zeichnen? A: Wie man dies macht lernt ihr unter Dreieck konstruieren (zeichnen). F: Welche Themen sollte ich mir als nächstes ansehen? A: Die Kongruenzsätze sind Teil der Geometrie. In diesem Bereich haben wir noch weitere Inhalte verfügbar, wie zum Beispiel diese hier: Wie lautet der Kongruenzsatz?Der Kongruenzsatz S S W SSW SSW lautet: Stimmen zwei Dreiecke in zwei Seiten und dem der längeren Seite gegenüberliegenden Winkel überein, dann sind die Dreiecke immer kongruent.
Wie beweist man mit Kongruenzsätzen?Satz 3.1 (Kongruenzsätze)
„SSS“: Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in der Länge aller drei Seiten übereinstimmen. „SWS“: Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in der Länge zweier Seiten und in der Größe des von den beiden Seiten eingeschlossenen Winkels übereinstimmen.
Sind die gegenüberliegenden Seiten beim Parallelogramm gleich lang?Zwei gegenüberliegende Seiten sind parallel und gleich lang. Gegenüber liegende Winkel sind gleich groß. Je zwei benachbarte Winkel ergeben zusammen 180°. Die Diagonalen halbieren einander.
Bei welchen Figuren sind die gegenüberliegenden Seiten gleich lang?Das Rechteck
Ein Rechteck ist ein Viereck, dessen Winkel 90° betragen. Dadurch sind gegenüberliegende Seiten gleich groß. Seine Diagonalen sind ebenfalls gleich lang.
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Mit welchem konkurenzsatz bweise ich gegenüberliegende seiten sind gleich lang
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