Wann ist eine dichtefunktion gleich 0

Während Du bei einer diskreten Zufallsvariable nur endlich viele mögliche Beobachtungswerte gegeben hast, zu denen jeweils eine positive Wahrscheinlichkeit gehört, gibt es im stetigen Fall unendlich viele theoretisch mögliche Realisationen.

Die Wahrscheinlichkeit, mit der ein bestimmter Wert eintritt, als Anzahl der günstigen durch Anzahl der (im stetigen Fall

An ihre Stelle tritt in diesem Fall die Dichtefunktion als ein Maß dafür, wie dicht die Realisationen der Zufallsvariablen X um den Wert x liegen. Je mehr Realisationen sich an einer Stelle scharen, umso höher ist die Dichte dort und umso größer ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Realisation „in der Nähe“ von x beobachtet wird.

Eigenschafaten der Dichtefunktion

• Sie ist nie kleiner als null, kann aber, anders als die Wahrscheinlichkeitsfunktion, auch Werte größer als eins annehmen:

     

  

• Das Integral über die Dichtefunktion von
  
  bis
  
  ergibt außerdem eins:

     

  

• Durch Integrieren der Dichtefunktion bis zum Wert x erhältst Du zudem die zugehörige Verteilungsfunktion F(x):

     

  

Folglich kannst Du die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten einer Realisation der Zufallsvariablen im Intervall [a;b] als Differenz der Werte der Verteilungsfunktion an den Stellen b und a berechnen:

Die Grafik zeigt blau eingezeichnet eine Dichtefunktion; die orangene Fläche ist das Integral über die Dichtefunktion von

Normalverteilung \(N\left( {\mu ;{\sigma ^2}} \right)\)

Die Normalverteilung, auch gaußsche Glockenverteilung genannt, ist zusammen mit ihrem Spezialfall (μ=0, σ2=1) der Standardnormalverteilung die wichtigste Verteilungsfunktion. Sie bietet sich immer dann an, wenn Werte innerhalb eines begrenzten Intervalls liegen und es kaum Ausreißer gibt. Bei großen Stichproben einer Binomialverteilung kann diese durch eine Normalverteilung approximiert werden.

2 Parameter:

• \(\mu = E\left( X \right)\) .. Erwartungswert, bestimmt an welcher Stelle das Maximum der Normalverteilung auftritt, d.h. er verschiebt die Dichte- und Verteilungsfunktion entlang der x-Achse
• \(\sigma ^2\) .. Varianz, ist ein Maß für die Streuung der Werte um den Erwartungswert, d.h. sie bestimmt wie breit die Dichtefunktion ist, bzw. wie steil die Verteilungsfunktion ansteigt

Funktion fFunktion f: Normal(0, 1, x, false) Funktion gFunktion g: g(x) = Integral(f) + 0.5 f(t) ... Dichtefunktion der NormalverteilungText1 = “f(t) ... Dichtefunktion der Normalverteilung” F(x) .. Verteilungsfunktion der NormalverteilungText2 = “F(x) .. Verteilungsfunktion der Normalverteilung”

Wahrscheinlichkeit der Normalverteilung

Die Zufallsvariable X ist normalverteilt mit dem Erwartungswert \(\mu\) und der Varianz \(\sigma ^2\). 

\(P\left( {X \leqslant {x_1}} \right) = \int\limits_{ - \infty }^{{x_1}} {f\left( x \right)} \,\,dx = \int\limits_{ - \infty }^{{x_1}} {\dfrac{1}{{\sigma \cdot \sqrt {2 \cdot \pi } }}} \cdot {e^{ - \,\,\dfrac{1}{2} \cdot {{\left( {\dfrac{{x - \mu }}{\sigma }} \right)}^2}}}\,\,dx\)

• Die Dichtefunktion der Normalverteilung \(N\left( {\mu ;{\sigma ^2}} \right)\)ist symmetrisch um die y-Achse, welche die x-Achse bei \(x = \mu = E\left( X \right)\) also beim Erwartungswert schneidet.
• Die Glockenkurve erreicht Ihr Maximum an der Stelle vom Erwartungswert. Hier liegen ebenfalls der Modus und der Median.
• Die Dichtefunktion der Normalverteilung \(N\left( {\mu ;{\sigma ^2}} \right)\)hat links und rechts vom Erwartungswert E(X) zwei Wendestellen, die jeweils genau 1 Standardabweichung \(\sigma\) vom Erwartungswert entfernt liegen.
• Die Dichtefunktion der Normalverteilung \(N\left( {\mu ;{\sigma ^2}} \right)\)ist stetig, von -∞ bis ∞ definiert und nähert sich der negativen und der positiven x- Achse an, ohne sie je zu berühren.
• Die Dichtefunktion der Normalverteilung \(N\left( {\mu ;{\sigma ^2}} \right)\)ist kein Maß für die Wahrscheinlichkeit eines einzelnen Werts, sondern grundsätzlich nur für ein Intervall.
• Die Standardabweichung \(\sigma\) bestimmt, den Verlauf der Dichtefunktion: Je kleiner \(\sigma\) ist, um so steiler wird der Graph
• Der Erwartungswert \( \mu = E\left( X \right)\) bestimmt hingegen, bei welchem x-Wert die Normalverteilung ihr Maximum hat. Ändert sich der Erwartungswert, so verschiebt sich die Normalverteilung entlang der x-Achse
• Die Verteilungsfunktion der Normalverteilung hat Ihren Wendepunkt \(WP\left( {\mu ,0.5} \right)\) an der Stelle vom Erwartungswert. An dieser Stelle hat die Dichtefunktion ihr Maximum

Sigma-Umgebungen

Der Erwartungswert ist der Wert mit der größten Wahrscheinlichkeit. Links und rechts vom Erwartungswert gruppieren sich die restlichen normalverteilten Wahrscheinlichkeiten. 

Die Wendepunkte der Wahrscheinlichkeitsfunktion der Normalverteilung liegen eine Standardabweichung rechts vom Erwartungswert und eine Standardabweichung links vom Erwartungswert.

Wahrscheinlichkeiten für 1, 2 und 3-fache \(\sigma\) -Umgebungen:

\(\eqalign{ & P\left( {\mu - \sigma \leqslant X \leqslant \mu + \sigma } \right) \approx 0,683 \cr & P\left( {\mu - 2 \cdot \sigma \leqslant X \leqslant \mu + 2 \cdot \sigma } \right) \approx 0,954 \cr & P\left( {\mu - 3 \cdot \sigma \leqslant X \leqslant \mu + 3 \cdot \sigma } \right) \approx 0,997 \cr} \)

Obige Gleichungen in Worten:
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zufallsvariable X einen Wert

• im Bereich µ+/- 1σ annimmt beträgt ca. 68,3%,
• im Bereich µ+/- 2σ annimmt beträgt ca. 95,4% und
• im Bereich µ+/- 3σ ist sie mit ca. 99,7% schon sehr nahe bei 100%.

Erwartungswert und Standardabweichung einer Normalverteilung

Die Normalverteilung ersetzt bei großen Stichproben, also bei relativ hohem n, die Binomialverteilung, wobei dann für die Normalverteilung - so wie bei der Binomalverteilung - wie folgt gilt:

• Erwartungswert bei großem n: \(\mu =E\left( x \right) = n \cdot p\)

• Standardabweichung bei großem n: \(\sigma = \sqrt {Var(x)} = \sqrt {n \cdot p \cdot \left( {1 - p} \right)} \)

Hat eine Zufallsvariable X eine Normalverteilung mit beliebigen μ und σ, so kann man die Werte der Normalverteilung mit \(z = \dfrac{{X - \mu }}{\sigma }\) in eine Standardnormalverteilung umrechnen.

Für die tabellarische Ermittlung von z aus \(\gamma\) gibt es 2 Möglichkeiten

• man geht mit dem Wert \(\Phi \left( z \right) = \dfrac{{\gamma + 1}}{2}\) in eine \(\Phi \left( z \right) \Rightarrow z\) Tabelle und liest z ab
• man geht mit dem Wert \(D\left( z \right) = \gamma \) in eine \(D\left( z \right) \Rightarrow z\) Tabelle und liest z ab

D(z) entspricht der Fläche unter der Gaußkurve, zwischen 2 vom Erwartungswert E bzw. μ um \( \pm z \cdot \sigma \) entfernt liegende Grenzen. Für das zugehörige Konfidenzintervall gilt:
\({p_{1,2}} = \mu \pm z \cdot \sigma \Rightarrow \left[ {{p_1},\,\,{p_2}} \right] = \left[ {\mu - \sigma ;\,\,\mu + \sigma } \right]\)

Dichtefunktion f(t) einer Normalverteilung mit \(X \sim N\left( {\mu ,{\sigma ^2}} \right)\)

\(f\left( t \right) = \dfrac{1}{{\sigma \cdot \sqrt {2\pi } }} \cdot {e^{ - \dfrac{1}{2} \cdot {{\left( {\dfrac{{t - \mu }}{\sigma }} \right)}^2}}}\)

• Die Dichtefunktion der Normalverteilung hat die Form einer Glockenkurve, ist symmetrisch um den Erwartungswert µ, der zugleich ihr Maximum ist. Ihre beiden Wendestellen liegen bei µ-σ bzw. bei µ+σ. Ihr Graph nähert sich asymptotisch der positiven bzw. negativen x-Achse an. Sie illustriert, dass Abweichungen vom Erwartungs- bzw. Mittelwert umso unwahrscheinlicher werden, je weiter die Zufallsvariable X von µ entfernt ist. Um die Dichtefunktion der Normalverteilung zeichnen zu können benötigt man nur den Erwartungswert µ, der die Lage vom Maximum auf der x-Achse bestimmt und die Streuung σ, welche die Breite vom Graph bestimmt. 

• Der Flächeninhalt, der von der Dichtefunktion der Normalverteilung eingeschlossen wird - also das Integral von minus Unendlich bis plus unendlich - ist unabhängig von den Werten von µ und σ immer genau 1.

• Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable X einen Wert kleiner oder gleich einer Grenze G annimmt: \(P(X \le G) = \int\limits_{ - \infty }^G {f\left( t \right)} \,\,dt\)
• Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable X einen Wert größer oder gleich einer unteren Grenze U und gleich oder kleiner einer oberen Grenze O annimmt: \(P(U \le X \le O) = \int\limits_U^O {f\left( t \right)} \,\,dt\)
• Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable X mindestens einen Wert größer oder gleich einer Grenze O annimmt: \(P\left( {X \ge G} \right) = \int\limits_G^\infty {f\left( t \right)} \,\,dt\)

Verteilungsfunktion F(x) einer Normalverteilung

\(F\left( x \right) = \int\limits_{ - \infty }^x {f\left( t \right)\,\,dt} = \dfrac{1}{{\sigma \cdot \sqrt {2\pi } }} \cdot \int\limits_{ - \infty }^x {{e^{ - \dfrac{1}{2} \cdot {{\left( {\dfrac{{t - \mu }}{\sigma }} \right)}^2}}}} \,\,dt\)

• Auf Grund der Symmetrie der Verteilungsfunktion gilt \(F(x) = 1 - F( - x)\)

Anmerkung:

• Bei der Dichtefunktion f(t) lautet das Argument t, bei der Verteilungsfunktion F(x) lautet das Argument x nur um besser zwischen den beiden Funktionen unterscheiden zu können. Das t hat nichts mit Zeit zu tun, es hat sich einfach für die Dichtefunktion so etabliert.

Dichte- und Verteilungsfunktion der Normalverteilung

• Die Verteilungsfunktion - sie hat den Graph einer logistischen Wachstumsfunktion - ist das Integral der Dichtefunktion bzw. die Dichtefunktion ist die Ableitung der Verteilungsfunktion
• Dort wo die Verteilungsfunktion ihren Wendepunkt \(WP\left( {\mu ,0.5} \right)\) hat, dort liegt der Erwartungswert und an dieser Stelle hat die Verteilungsfunktion die Wahrscheinlichkeit 0,5 bzw hat dort die Dichtefunktion ihr Maximum. 
• Auf der y-Achse der Verteilungsfunktion kann man die Wahrscheinlichkeit \(P\left( {X \le {x_1}} \right)\) ablesen, höchstens den Wert x1 zu erreichen.
  • In unten stehender Illustration beträgt die Wahrscheinlichkeit höchstens den Wert x1 zu erreichen: 0,7 bzw. 70%
• Der verbleibende Rest auf 1 entspricht der Wahrscheinlichkeit mindestens den Wert x1 zu erreichen.
  • In unten stehender Illustration beträgt die Wahrscheinlichkeit mindestens den Wert x1 zu erreichen: 0,3 bzw. 30%

Kann die Dichtefunktion größer als 1 sein?

Wann ist es eine Dichtefunktion?

Für welchen Wert ist die Funktion eine Dichtefunktion?

Wann hat eine Verteilungsfunktion eine Dichte?