A invers transponiert gleich a transponiert invers

Leider ist nicht jede beliebige Matrix invertierbar, sondern nur solche Matrizen, die bestimmte Voraussetzungen erfüllen. Es stellt sich also die Frage, wann ist eine Matrix invertierbar? Dazu musst du prüfen, ob du eine quadratische Matrix vorliegen hast und ob die Determinante der Matrix ungleich Null ist.

Die Beispielmatrix

Wie du die Inverse genau bestimmen kannst, erfährst du in unserem Video Inverse Matrix berechnen .

Meistens lohnt es sich, vorher kurz die Invertierbarkeit der Matrix zu überprüfen.

Hinweis: Übrigens, eine invertierbare Matrix nennt man regulär. Ist eine Matrix nicht invertierbar, so nennt man sie singulär.

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Anmerkung:

Wenn TT =  T -1  gilt, dann handelt es sich um eine orthogonale Matrix, d.h. die Zeilen- bzw. Spaltenvektoren sind zueinander orthogonal und normiert, es ist stets det T = 1 oder det T = -1 und T TT = T  T -1 = E.

Ansonsten fällt mir Diagonalisierbarkeit ein. Jede symmetrische, reguläre Matrix ist diagonalisierbar und es gibt eine Orthonormalbasis bestehend aus Eigenvektoren von der Matrix T und es gibt eine orthogonale Matrix (nennen wir sie O), so dass D = OT T  O. Vermutlich ist deine Matrix T bereits die orthogonale Matrix. (hier: O) und deine Matrix G wird die Diagonalmatrix sein.

Ordnung einer Matrix

Die Ordnung einer Matrix ergibt sich aus der Anzahl der Zeilen m und der Anzahl der Spalten n. Die Ordnung einer solchen Matrix ist dann m x n. Sie repräsentiert die Koeffizienten eines linearen Gleichungssystems mit m Gleichungen in n Unbekannten

Einzeilige bzw. einspaltige Matrix

Eine einzeilige bzw. einspaltige Matrix stellt einen Zeilen- bzw. Spaltenvektor dar

• Zeilenvektor \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}} \end{array}} \right){\rm{ bzw}}{\rm{. }}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{21}}}&{{a_{22}}} \end{array}} \right)\)
   
• Spaltenvektor \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}\\ {{a_{21}}} \end{array}} \right){\rm{ bzw}}{\rm{. }}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{12}}}\\ {{a_{22}}} \end{array}} \right)\)

Gleiche Matrizen

Zwei Matrizen sind gleich, wenn sie in der Anzahl der Zeilen und der Spalten übereinstimmen und auch jede einzelne Komponente gleich ist.

\({a_{ij}} = {b_{ij}}\)

Quadratische Matrix

besitzt die gleiche Anzahl an Zeilen und Spalten

\(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}} \end{array}} \right)\)

Existiert für eine (quadratische) Matrix A eine inverse Matrix A-1 so nennt man A eine reguläre Matrix, andernfalls nennt man A eine singuläre Matrix.

Hauptdiagonale einer Matrix

Die Komponenten einer Matrix für die m=n gilt, bilden die Hauptdiagonale einer Matrix

\(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}& \cdot & \cdot \\ \cdot &{{a_{22}}}& \cdot \\ \cdot & \cdot &{{a_{33}}} \end{array}} \right)\)

Diagonalmatrix

Alle Komponenten einer Diagonalmatrix, ausgenommen jene Komponenten die auf der Hauptdiagonalen liegen, sind Null

\(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&0&0&0\\ 0&{{a_{22}}}&0&0\\ 0&0&{{a_{33}}}&0\\ 0&0&{...}&{{a_{44}}} \end{array}} \right)\)

Symmetrische Matrix

Eine quadratische Matrix heißt symmetrische Matrix, wenn sie bei Spiegelung an der Hauptdiagonale (links oben → rechts unten) in sich selbst übergeht (d.h. unverändert bleibt). In diesem Sonderfall stimmt die Ausgangsmatrix mit ihrer Transponierten überein.

\(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{21}}}&{{a_{31}}}&{{a_{41}}}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}}&{{a_{32}}}&{{a_{42}}}\\ {{a_{31}}}&{{a_{32}}}&{{a_{33}}}&{{a_{43}}}\\ {{a_{41}}}&{{a_{42}}}&{{a_{43}}}&{{a_{44}}} \end{array}} \right)\)

Nullmatrix

Bei einer Nullmatrix sind sämtliche Komponenten null.

\(A = \left( {\matrix{ 0 & 0 & {...} & 0 \cr 0 & 0 & {...} & 0 \cr {...} & {...} & {...} & {...} \cr 0 & 0 & {...} & 0 \cr } } \right)\)

Einheitsmatrix

Die Einheitsmatrix ist eine quadratische Diagonalmatrix (m=n), deren „Diagonal-Komponenten“ gleich 1 sind und bei der alle anderen Komponenten gleich 0 sind

\(A = \left( {\matrix{ 1 & 0 & {...} & 0 \cr 0 & 1 & {...} & 0 \cr {...} & {...} & {...} & {...} \cr 0 & 0 & {...} & 1 \cr } } \right)\)

Dreiecksmatrix

Dreiecksmatrizen sind quadratische Matrizen, deren Komponenten entweder oberhalb oder unterhalb der Hauptdiagonalen nur aus Nullen bestehen.

• Damit, insbesondere auf Grund der vielen Nullen, besitzen sie Eigenschaften, die es einfach machen, mit ihnen zu rechnen.
• Jede quadratische Matrix kann mittels einer Permutationsmatrix in das Produkt zweier Dreicksmatrizen zerlegt werden.
• Sind sie invertierbar und die zugehörigen linearen Gleichungssysteme haben genau eine Lösung.
• Die Determinante einer Dreiecksmatrix ist gleich dem Produkt jener Komponenten, die auf der Hauptdiagonalen liegen

\({A_{oben}} = {A_{unten}} = \det {A_{oben}} = \det {A_{unten}} = \prod\limits_i {{a_{ii}}} \)

obere Dreiecksmatrix

Bei einer oberen Dreiecksmatrix sind alle Komponenten die unterhalb der Hauptdiagonalen liegen null \({a_{mn}} = 0{\text{ für }}m > n\)

\(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}&{{a_{13}}}\\ 0&{{a_{22}}}&{{a_{23}}}\\ 0&0&{{a_{33}}} \end{array}} \right)\)

untere Dreiecksmatrix

Bei einer unteren Dreiecksmatrix sind alle Komponenten die oberhalb der Hauptdiagonalen liegen null \({a_{mn}} = 0{\text{ für }}n > m\)

\(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&0&0\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}}&0\\ {{a_{31}}}&{{a_{32}}}&{{a_{33}}} \end{array}} \right)\)

Inverse Matrix

Eine inverse Matrix A-1 liegt vor, wenn das Produkt einer Matrix A mit mit einer anderen Matrix A-1 die Einheitsmatrix I ergibt

\(A \cdot {A^{ - 1}} = {A^{ - 1}} \cdot A = I\)

• Eine inverse Matrix ist nur für quadratische Matrizen definiert. Es existiert aber nicht für jede quadratische Matrix eine inverse Matrix.
• Eine Matrix A heißt invertierbar, falls sie eine inverse Matrix A-1 besitzt. Andernfalls heißt sie singulär.
• Existiert eine inverse Matrix, so ist diese ebenfalls invertierbar. Die Inverse der inversen Matrix ist wieder die Matrix selbst \({\left( {{A^{ - 1}}} \right)^{ - 1}} = A\)
• Die inverse Matrix der transponierten Matrix entspricht der Transponierten der inversen Matrix \({\left( {{A^T}} \right)^{ - 1}} = {\left( {{A^{ - 1}}} \right)^T}\)
• Wenn A eine inverse Matrix A-1 besitzt, dann ist die Determinante von A auf jeden Fall ungleich Null.
• Die Berechnung der inversen Matrix ist kompliziert. Bei einer 3x3 Matrix muss man 9 lineare Gleichungen in 9 Unbekannten lösen.

Für die Berechnung der inversen Matrix bietet sich das Gauß-Jordan Algorithmus, Adjunkten oder die Cramersche Regel an.

Gauß-Jordan Algorithmus

Der Gauß-Jordan Algorithmus dient zur Berechnung der inversen Matrix A-1 zu einer gegebenen Matrix A

• Man schreibt wie folgt an: \(A \cdot {A^{ - 1}} = E\)
   
• Man bildet die Blockmatrix \(\left( {A\left| E \right.} \right) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}&{{a_{13}}}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}}&{{a_{23}}}\\ {{a_{31}}}&{{a_{32}}}&{{a_{33}}} \end{array}} \right.\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{array}} \right|\)
   
• Anschließend formt man den linken Block der Blockmatrix mit Hilfe vom Gauß-Jordan Algorithmus so um, dass aus der Matrix A die Einheitsmatrix E wird wobei der rechte Block zur inversen Matrix A-1 wird, gemäß \(\left( {E\left| {{A^{ - 1}}} \right.} \right) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{array}} \right.\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}^{ - 1}}&{{a_{12}}^{ - 1}}&{{a_{13}}^{ - 1}}\\ {{a_{21}}^{ - 1}}&{{a_{22}}^{ - 1}}&{{a_{23}}^{ - 1}}\\ {{a_{31}}^{ - 1}}&{{a_{32}}^{ - 1}}&{{a_{33}}^{ - 1}} \end{array}} \right|\)

Transponierte Matrix

Wenn man in einer beliebigen \(m \times n\) Matrix A die Zeilen und die Spalten vertauscht, so erhält man die transponierte oder gespiegelte oder gestürzte \(n \times m\) Matrix AT.

\(\eqalign{ & A = \left( {\matrix{ {{a_{11}}} & {{a_{12}}} & {...} & {{a_{1n}}} \cr {{a_{21}}} & {{a_{22}}} & {...} & {{a_{2n}}} \cr {...} & {...} & {...} & {...} \cr {{a_{m1}}} & {{a_{m2}}} & {...} & {{a_{mn}}} \cr } } \right) \cr & \cr & {A^T} = \left( {\matrix{ {{a_{11}}} & {{a_{21}}} & {...} & {{a_{m1}}} \cr {{a_{12}}} & {{a_{22}}} & {...} & {{a_{m2}}} \cr {...} & {...} & {...} & {...} \cr {{a_{1n}}} & {{a_{2n}}} & {...} & {{a_{mn}}} \cr } } \right) \cr}\)

Aus der 1. Zeile wird also die 1. Spalte, aus der 2. Zeile wird die 2. Spalte usw.

In der Vektorrechnung wird durch Transposition aus einem Zeilenvektor ein Spaltenvektor und umgekehrt.

Transponierte einer transponierten Matrix

Die Transponierte einer transponierten Matrix ist wieder die Ursprungsmatrix.

\({\left( {{A^T}} \right)^T} = A\)

Matrix

Zeilenvektor

Spaltenvektor

Komponenten einer Matrix

Quadratische Matrix

Hauptdiagonale einer Matrix

Diagonalmatrix

symmetrische Matrix

Nullmatrix

Dreiecksmatrix

Inverse Matrix

Transponierte Matrix

Gauß-Jordan Algorithmus

Transponierte einer transponierten Matrix

Einheitsmatrix

Singuläre Matrix

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\(\overrightarrow p = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{p_1}}\\ {{p_2}}\\ {{p_3}}\\ {{p_4}}\\ {{p_5}}\\ {{p_6}} \end{array}} \right)\)

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