Bisher haben wir genau genommen nur über Rechenregeln gesprochen. Nun wollen wir uns zum ersten Mal einer "richtigen" mathematischen Problemstellung zuwenden. Betrachten wir eine positive reelle Zahl. Gibt es eine reelle Zahl, deren Quadrat gleich der gegebenen Zahl ist? Show
Aus Beobachtung wissen wir schon, dass: 32 = 3 · 3 = 9 Weiters haben wir auch schon in der Geometrie die Quadratwurzel
gezogen. Wenn wir jetzt nochmal auf unsere Beobachtung oben schauen und unser Wissen über Quadratwurzeln berücksichtigen, können wir erkennen, dass es einen Zusammenhang gibt:  Also haben wir eine Antwort zu unserer Frage gefunden: Wir haben aber auch gesehen, dass: Wurzeln kann man sowohl aus Zahlen als auch aus Termen ziehen. Aber auch beim Lösen von Gleichungen sind Wurzeln sehr wichtig. Das Ziehen von Quadratwurzeln ist die Umkehroperation zum Quadrieren. Wurzelziehen aus ZahlenDas Berechnen der Wurzel nennt man Wurzelziehen oder Radizieren. Die QuadratwurzelDie Quadratwurzel einer Zahl aa ist diejenige Zahl, die man quadrieren muss, um a a zu erhalten. Die Quadratwurzel einer Zahl ist immer eine positive reelle Zahl oder 0 ! MerkeWarum ist die Quadratwurzel immer eine positive Zahl?Betrachtet man das Beispiel 4\sqrt4 , dann ist die Quadratwurzel diejenige Zahl, welche man quadrieren muss um 4 zu erhalten. Offensichtlich löst 2 das Problem. Aber auch -2 wäre prinzipiell eine sinnvolle Lösung, denn (−2)⋅(−2)=(−2)2=4(-2)\cdot(-2)=(-2)^2=4. Warum ist also (-2) nicht die Quadratwurzel von 4? Dies liegt daran, dass die Quadratwurzel auch als Funktion definiert werden kann bzw. soll. Eine Funktion ordnet jedem Wert aus dem Definitionsbereich genau eine Zahl aus der Wertemenge zu. Deshalb definert man die Quadratwurzel immer als eine positive Zahl (oder 0), sodass die Quadratwurzel eindeutig ist. Die Quadratwurzel einer Zahl soll immer positiv sein, weil man einen eindeutigen Ausdruck haben möchte. Die Quadratwurzel von a schreibt man so: \, a2\sqrt[2]{a} bzw. kurz: a\sqrt{a} Dabei bezeichnet man die Zahl unter dem Wurzelzeichen als Radikand. Dieser ist immer positiv oder 0. Beispiele
Höhere WurzelnEs gibt nicht nur die Quadratwurzel, sondern auch sogenannte höhere Wurzeln. Mehr dazu findest du im Artikel höhere Wurzel. Quadratwurzel aus TermenMan kann Wurzeln nicht nur aus Zahlen, sondern auch aus Termen ziehen. Auch hier muss man beachten, dass der Radikand (= das was unter der Wurzel steht) nicht negativ wird. Und genauso wie bei Quadratwurzeln von Zahlen ist die Quadratwurzel von Termen immer positiv oder 0. Beispiele
DefinitionsmengeBeim Wurzelziehen aus Termen muss man darauf achten, dass der Radikand nicht negativ wird. Das heißt, man muss den Definitionsbereich beachten. Wurzeln und der BetragSteht unter der Wurzel ein Term, so muss man beim Radizieren den Betrag berücksichtigen, damit immer ein positiver Ausdruck herauskommt. Beispiele
Würde man den Betrag nicht setzen, also als Ergebnis schreiben x2 =x\sqrt{x^2}=x, könnte man für xx auch negative Zahlen einsetzen (da der Definitionsbereich ganz R\mathbb{R} ist). Dann wäre aber die Quadratwurzel negativ, was aber verboten ist. Durch die Verwendung des Betrags kann man alle Zahlen des Definitionsbereichs einsetzen (also auch die negativen) und bekommt trotzdem nur positive Zahlen (oder 0) heraus.
Natürlich wäre hier die Lösung (x)2=∣x∣\left(\sqrt x\right)^2=\left|x\right| auch richtig. Allerdings kann man hier den Betrag weglassen, da die Definitionsmenge nur aus den nicht negativen reellen Zahlen besteht. Man darf also für xx gar keine negativen Zahlen einsetzen! Somit sind die Betragsstriche überflüssig. VorgehensweiseRechenregeln"Rationalmachen" des NennersIst eine Zahl gegeben durch ab\frac a{\sqrt b} , dann kann man diese Zahl mit b \sqrt b erweitern , um die Wurzel aus dem Nenner wegzubekommen. Die Rechenschritte sind folgende: ab=ab ⋅bb=a⋅bb⋅b=abb\frac a{\sqrt b}=\frac a{\sqrt b}\cdot\frac{\sqrt b}{\sqrt b}=\frac{a\cdot\sqrt b}{\sqrt b\cdot\sqrt b}=\frac{a\sqrt b}b . Wurzelziehen in GleichungenVerwendet man Wurzeln um Gleichungen zu vereinfachen, muss man aufpassen, dass man manche Lösungen nicht verliert! Deshalb muss man auch hier den Betrag verwenden. Ein einfaches Beispiel soll das verdeutlichen:
Hätte man die Betragsstriche nicht verwendet, wäre die Lösung nur x=2x=2 gewesen. Man hätte also die Lösung x=−2x=-2 verloren! VideoInhalt wird geladen… ÜbungsaufgabenInhalt wird geladen… Weitere Aufgaben zum Thema findest du im folgenden Aufgabenordner: Du hast noch nicht genug vom Thema?Hier findest du noch weitere passende Inhalte zum Thema: Kurse
Dieses Werk steht unter der freien Lizenz Ist Wurzel 1 gleich 1?√(-1) ist die Wurzel aus der Zahl -1. Die Wurzel von -1 müsste mit sich selbst malgenommen wieder -1 ergeben. Als Ergebnis gibt es zwei Möglichkeiten: a) die Wurzel ist entweder nicht definiert. Oder b) sie ist die imaginäre Zahl i, auch geschrieben als 0+1i.
Was ist die erste Wurzel?◦ Die erste Wurzel aus einer Zahl z wäre sinngemäß: ◦ Die Zahl, die einmal in eine Malkette geschrieben wieder z ergibt. ◦ Beispiel: die erste Wurzel aus 4 wäre die 4 selbst. ◦ Denn: 4 einmal in einer Malkette ist 4 selbst.
Was ist die zweite Wurzel?: Die zweite Wurzel heißt Quadratwurzel oder einfach nur Wurzel . Der Wurzelexponent wird bei Quadratwurzeln üblicherweise weggelassen. : Die dritte Wurzel heißt Kubikwurzel .
Was ist die zweite Wurzel aus 1?◦ Die zweite Wurzel von 1 ist 1. ◦ Die zweite Wurzel von 4 ist 2. ◦ Die zweite Wurzel von 9 ist 3. ◦ Die zweite Wurzel von 100 ist 10.
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1 wurzel ist gleich wurzel
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