Wie oft muss man mindestens würfeln, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 99

Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung

In der Wahrscheinlichkeitsrechnung haben wir es mit Zufallsexperimenten zu tun. Die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis A eintritt, bezeichnen wir mit P(A).

Klassische Wahrscheinlichkeitsdefinition nach Laplace:

P(A) =

Anzahl der für A günstigen Fälle Anzahl der möglichen Fälle

Beispiel: Bei einmaligem Würfeln mit einem fairen Würfel ist P(6) = 1/6.

Rechenregeln:

0 ≤ P(A) ≤ 1	(das unmögliche Ereignis hat die Wahrscheinlichkeit 0, das sichere Ereignis die Wahrscheinlichkeit 1)
P(A oder B) = P(A) + P(B), wenn A und B einander ausschließen	z.B.: P(5 oder 6) = 1/6 + 1/6 = 2/6
P(A') = 1 - P(A) (Gegenereignis: A' = "nicht A")	z.B.: P(nicht 6) = 1 - 1/6 = 5(6)
P(A und B) = P(A)·P(B), wenn A und B voneinander unabhängig sind	z.B.: bei 2maligem Würfeln ist P(2mal 6)= 1/6·1/6 = 1/36

Beispiele:

1. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei 2maligem Würfeln mindestens 1mal "6" zu werfen?
   Wir können die günstigen und möglichen Fälle abzählen (kompliziert) oder so überlegen:
   Die Wahrscheinlichkeit für "0mal 6" beträgt 5/6·5/6 = 25/36.
   "Mindestens 1mal 6" ist das Gegenereignis dazu, also
   P(mind. 1mal 6) = 1 - P(0mal 6) = 1 - 25/36 = 11/36.

2. Wie oft muss man mindestens würfeln, um mit 90% Wahrscheinlichkeit mindestens 1mal 6 zu werfen?
   Analog zum vorigen Beispiel erhält man bei n-maligem Würfeln
   P(mind. 1mal 6) = 1 - (5/6)n
   Das soll 90% = 0,9 sein:
   1 - (5/6)n = 0,9
   Durch Umformen und Logarithmieren erhalten wir
   

   = 12,6
   d.h. man muss 13mal würfeln.

Bedingte Wahrscheinlichkeit

Unter der bedingten Wahrscheinlichkeit P(B|A) (B unter der Bedingung A) versteht man die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis B eintritt, wenn man bereits weiß, dass das Ereignis A eingetreten ist. Es gilt:

P(B|A) = P(A und B)/P(A)

(Das ist nur eine Abwandlung der Regel "günstige durch mögliche Fälle". Die möglichen Fälle sind jetzt nur mehr die, die zum Ereignis A gehören.)

Beispiele:

1. Die Wahrscheinlichkeit, eine 6 zu würfeln unter der Bedingung, dass das Ergebnis gerade ist, beträgt (1/6)/(1/2) = 1/3.

2. Ein Spieler hat schon viermal hintereinander eine 6 gewürfelt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beim fünften Wurf wieder eine 6 kommt?
   P(5 mal 6|4 mal 6) = (1/6)^5/(1/6)^4 = 1/6, das heißt, die Wahrscheinlichkeit ist von den vorigen Würfen unabhängig. "Der Würfel hat kein Gedächtnis."

Manche Aufgaben können wir uns mit einem Baumdiagramm veranschaulichen (s.u.).
Die Wahrscheinlichkeiten entlang eines Weges werden multipliziert.
Kann man das gewünschte Ergebnis auf mehrere Arten erhalten, werden die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Wege addiert.

Beispiel:

Eine Urne enthält 3 rote und 6 blaue Kugeln. Es wird 3mal je eine Kugel gezogen.

Ziehen mit Zurücklegen: P(0 mal R) = P(BBB) = 6/9·6/9·6/9 = 8/27 = 0,296 P(1 mal R) = P(RBB) + P(BRB) + P(BBR) = = 3/9·6/9·6/9 + 6/9·3/9·6/9 + 6/9·6/9·3/9 = 4/9 = 0,444 P(2mal R) = P(RRB) + P(RBR) + P(BRR) = = 3/9·3/9·6/9 + 3/9·6/9·3/9 + 6/9·3/9·3/9 = 2/9 = 0,222 P(3mal R) = P(RRR) = 3/9·3/9·3/9 = 1/27 = 0,037
Ziehen ohne Zurücklegen: P(0 mal R) = P(BBB) = 6/9·5/8·4/7 = 5/21 = 0,238 P(1mal R) = P(RBB) + P(BRB) + P(BBR) = = 3/9·6/8·5/7 + 6/9·3/8·5/7 + 6/9·5/8·3/7 = 15/28 = 0,536 P(2mal R) = P(RRB) + P(RBR) + P(BRR) = = 3/9·2/8·6/7 + 3/9·6/8·2/7 + 6/9·3/8·2/7 = 3/14 = 0,214 P(3mal R) = P(RRR) = 3/9·2/8·1/7 = 1/84 = 0,012

Lernziele:

• Ich kann einfache Aufgaben mit Baumdiagrammen lösen.
• Ich kann die Mindestanzahl von Versuchen für eine gegebenen Wahrscheinlichkeit berechnen.

Übungen

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Gefragt von: Hans-Ulrich Heine  |  Letzte Aktualisierung: 20. September 2022

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Die Münze muss mindestens 7 mal geworfen werden, um mit einer Sicherheit von mindestens 99% mindestens einmal Kopf zu erhalten.

Wie oft muss man mindestens würfeln damit mit mindestens 90 Wahrscheinlichkeit?

Ein Würfel muss mindestens 13 Mal geworfen werden, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% eine 6 zu erhalten.

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit bei 5 Versuchen mindestens einmal eine 6 zu würfeln?

Die Antwort lautet: 1/6 · 1/6 · 1/6 = 1/216 = 0,00462... Du siehst also, die Wahrscheinlichkeiten werden multipliziert.

Ist Münze werfen Zufall?

Zufallsversuch: Münze werfen

Der Münzwurf gilt jedoch als der einfachste echte Zufallsversuch. Die Münze landet so, dass entweder der Kopf oder die Zahl nach oben zeigt. Welche Seite nach oben zeigt, hängt vom Zufall ab.

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit berechnen?

Die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis lässt sich bestimmen, indem du die Anzahl der Ergebnisse, bei denen das gesuchte Ereignis auftritt, durch die Anzahl der möglichen Ergebnisse teilst.

Beispiel: Alle Möglichkeiten, wie du eine Münze werfen kannst

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Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit Kopf zu werfen?

Wie ihr seht, ist die Wahrscheinlichkeit mindestens einmal Kopf zu werfen bei 75%.

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit Beispiele?

Ein Würfel hat 6 verschiedene Möglichkeiten geworfen zu werden, daher ist die Wahrscheinlichkeit des Eintretens einer Zahl (egal ob 1, 2, 3, 4, 5 oder 6) = 1/6. Wenn du also eine 1 würfeln möchtest, hast du die Chance von 1 zu 6 diese tatsächlich zu bekommen.

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit Münzwurf?

Die Wahrscheinlichkeit dafür beläuft sich bei randomisierten Würfen auf ungefähr 1 zu 6000. Je nach Münze besteht durch den Gewichtsunterschied der Seiten auch eine minimale Unausgewogenheit.

Ist eine Münze fair?

Frequentistische Schätzung: Ausgangspunkt ist die Annahme, dass die Münze fair ist (Nullhypothese). Berechnet wird dann der p-Wert. Dieser gibt an, mit welcher Wahrscheinlichkeit eine faire Münze ein Ergebnis erwarten lässt, das mindestens so extrem ist wie das einer Stichprobe.

Was ist häufiger Kopf oder Zahl?

Allen Versuchspersonen gelang es nun tatsächlich, dass häufiger Kopf als Zahl erschien. Bei sieben Versuchspersonen war das Ergebnis auch statistisch gesichert.

Warum Würfle ich nie eine 6?

Wie hoch ist eigentlich die Chance, dass man eine Sechs würfelt? Genauso hoch wie eine Vier oder eine Eins. Aber wann die Sechs genau kommt, kann man nicht berechnen … Man kann höchstens die Häufigkeit ausrechnen, wie oft welche Zahl beim Würfeln auftaucht.

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit 2 mal hintereinander eine 6 zu würfeln?

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, zweimal hintereinander eine Sechs zu würfeln? Antwort stern: ein Sechsunddreißigtel.

Wie wahrscheinlich ist es eine 3 zu würfeln?

Und damit kann man nun arbeiten, was mit den folgenden Beispielen verdeutlicht werden soll: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit die Zahl 3 zu würfeln? Lösung: Die Wahrscheinlichkeit beträgt 1/6.

Wie funktioniert die Wahrscheinlichkeitsrechnung?

Bei einem sicheren Ereignis beträgt die Wahrscheinlichkeit P(E) = 1. Bei Gegenereignissen gilt 1 – P(E). Ein unmögliches Ereignis hat die Wahrscheinlichkeit 0. Um dir alle Kombinationen von Ereignissen besser vorzustellen, zeichne eine Vierfeldertafel, damit du kein Ereignis vergisst.

Wie oft muss man durchschnittlich würfeln?

Um eine dieser Zahlen tatsächlich zur würfeln, sind im Mittel 1/p = 6/4 Würfe nötig.

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit mit 2 würfeln?

So ergeben sich die Wahrscheinlichkeiten 1/36 (bei Augensumme 2 und 12), 2/36 (bei 3 und 11), 3/36 (bei 4 und 10), 4/36 (bei 5 und 9), 5/36 (bei 6 und 8) und 6/36 (bei Augensumme 7).

Wie spielt man Kopf oder Zahl?

Der Spielleiter setzt sich an das Ende der Schlange in die Mitte der zwei Gruppen. Die Gruppen müssen nun die Hände reichen bis zu dem letzten Spieler. Es entsteht also eine Durchgehende Händeschlange. Desweiteren müssen Sie am Ende des Raumes oder des Spielfeldes einen Gegenstand hinlegen.

Warum soll ich eine Münze werfen?

Zauderern und Entscheidungsschwachen hilft es, eine Münze zu werfen. Auf jeden Fall sind wir glücklicher, wenn wir eine Chance ergriffen haben, als sie verstreichen zu lassen.

Was ist ein Laplace Münze?

Laplace-Würfel vs.

Ein Laplace-Würfel (L-Würfel) ist ein idealer Würfel, bei dem das Auftreten jeder Augenzahl gleich wahrscheinlich ist. Eine ideale Münze bezeichnet man dementsprechend auch als Laplace-Münze (L-Münze).

Warum wirft man eine Münze?

Eine Münze werfen, um eine Entscheidung zu treffen, soll eher dazu führen, sich für einen neuen Weg zu entscheiden – und auf Dauer glücklicher zu machen.

Wie rechnet man zwei Wahrscheinlichkeiten zusammen?

Berechnung der Wahrscheinlichkeit

In der allgemeinen Form schreibt man für die Gesamtzahl aller möglichen Ergebnisse ein n. Für die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses gilt also \frac{1}{n}. Bedenke, dass du die Wahrscheinlichkeit als Prozentangabe, Bruch oder Dezimalzahl angeben kannst.

Kann man den Zufall berechnen?

Mathematisch hat man den Zufall längst gebändigt, indem man ihn berechenbar gemacht hat. Der Zufall berechnet sich nämlich aus der Anzahl günstiger Fälle im Verhältnis zur Anzahl möglicher Fälle und bestimmt damit die Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines günstigen Falls.

Wie schreibt man die Wahrscheinlichkeit auf?

Für die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Ereignisses A schreibt man meistens P ( A ) P(A) P(A) (das P kommt vom englischen Wort probability). Je höher P ( A ) P(A) P(A) ist, desto wahrscheinlicher ist, dass bei diesem Zufallsexperiment das Ereignis A eintreten wird.

Ist ein Münzwurf ein Laplace Experiment?

Werfen einer Münze

Die möglichen Ergebnisse beim Münzwurf sind „Kopf“ und „Zahl“. Bei einer idealen Münze treten beide Ergebnisse mit der gleichen Wahrscheinlichkeit ein. Auch hier handelt es sich um ein Laplace-Experiment.

Wie wahrscheinlich ist es eine 4 zu Würfeln?

Die Wahrscheinlichkeit für dieses Ereignis ist gleich der Wahrscheinlichkeit, dass eine 5 5 5 oder eine 6 6 6 gewürfelt wird. Es gibt also 2 2 2 günstige Ergebnisse bei 6 6 6 möglichen Ergebnissen. Die Wahrscheinlichkeit, eine Zahl größer als 4 4 4 zu würfeln, liegt also bei 33 , 33 % 33,33\,\% 33,33%.

Wie oft muss man mindestens würfeln um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% mindestens eine Sechs zu bekommen?

Wie oft muss man mindestens würfeln damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 98?

Wie oft muss man würfeln um mit einer Wahrscheinlichkeit von 90% eine 6 zu würfeln?

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit bei 3 mal würfeln mindestens eine 6 zu würfeln?