Mit dem Volumen einer Pyramide befassen wir uns in diesem Artikel. Dabei erklären wir euch, wie man die Volumenberechnung bei einer Pyramide durchführt und liefern euch einige Beispiele. Dieser Artikel gehört zum Bereich Mathematik. Show
Klären wir zunächst kurz eine Frage: Was ist eine Pyramide? Eine Pyramide ist ein spezielles Polyeder (also ein Vielflächner). Die Pyramide wird begrenzt von einem Vieleck beliebiger Eckenzahl (der Grundfläche) und mindestens drei Dreiecken (Seitenflächen), die in einem Punkt - der Spitze der Pyramide - zusammentreffen. Die Gesamtheit der Seitenflächen bezeichnet man als Mantelfläche. Am Boden findet sich eine Grundfläche. Pyramide VolumenberechnungDie Volumenberechnung einer Pyramide soll in diesem Abschnitt erklärt werden. Um die Formel zur Berechnung zu verstehen, wird eine Grafik einer Pyramide mit entsprechenden Bezeichnungen benötigt. Aus diesem Grund zunächst die Grafik: Das Volumen der Pyramide berechnet sich nach der folgenden Formel: Tipp: Ihr solltet alle Angaben in Metern einsetzen, dann erhaltet ihr ein Ergebnis in Kubikmeter. Setzt ihr hingegen die Fläche in cm2 und die Höhe in Meter ein, so erhaltet ihr ein falsches Ergebnis. Zum besseren Verständnis folgt ein Beispiel. Beispiel 1: Die Grundkante einer Pyramide sei 8 Meter lang. Die Pyramide ist 12 Meter hoch. Berechne das Volumen. Lösung: Dem Text entnehmen wir die Angaben V = 1000m3 und h = 18m. Diese Angaben setzen wir in die Formel ein und stellen diese nach der Länge einer Grundkante um. steigere dein Selbstvertrauen im Unterricht, indem du vor Tests und Klassenarbeiten mit unseren unterhaltsamen interaktiven Übungen lernst. lerne unterwegs mit den Arbeitsblättern zum Ausdrucken – zusammen mit den dazugehörigen Videos ermöglichen diese Arbeitsblätter eine komplette Lerneinheit. 24h-Hilfe von Lehrer*innen, die immer helfen, wenn du es brauchst. 89 % der Schüler*innen verbessern ihre Noten mit sofatutor Mit schnellen Schritten zur kostenlosen Testphase!30 Tage kostenlos testen Testphase jederzeit online beenden Sie sind Lehrkraft? Hier entlang! Du möchtest schneller & einfacher lernen?Dann nutze doch Erklärvideos & übe mit Lernspielen für die Schule. Kostenlos testenBewertung Ø 3.9 / 101 Bewertungen Du musst eingeloggt sein, um bewerten zu können. Wow, Danke! Die Autor*innen Team Digital Pyramide – Volumen und Oberfläche berechnen lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse - 9. Klasse - 10. Klasse Beschreibung zum Video Pyramide – Volumen und Oberfläche berechnenHast du dich schon einmal gefragt, wie viel Platz in den Pyramiden von Gizeh ist? Um das herauszufinden, musst du wissen, wie man die Oberfläche und das Volumen einer Pyramide berechnet. Finde es in diesem Video heraus! Du lernst die wichtigsten Formeln und Zusammenhänge kennen. Außerdem werden anschauliche Beispiele berechnet, um die Anwendung der Formeln zu üben. Im Anschluss kannst du dich an den Übungsaufgaben auf dieser Seite versuchen. Schaffst du es, alle zu lösen? Grundlagen zum Thema Pyramide – Volumen und Oberfläche berechnenInhalt
Oberfläche und Volumen quadratischer PyramidenIn diesem Video lernst du, die Oberfläche und das Volumen von Pyramiden mit quadratischer Grundfläche zu berechnen. Um die Oberfläche zu berechnen, brauchst du zusätzlich zur Grundfläche noch die Seitenflächen der Pyramide. Das Volumen der Pyramide kannst mit der Grundfläche und der Höhe der Pyramide berechnen. Oberfläche Pyramide – DefinitionDie Oberfläche einer Pyramide besteht aus der Grundfläche und den Seitenflächen. Bei einer quadratischen Pyramide ist die Grundfläche ein Quadrat. Die Seitenflächen sind vier kongruente gleichschenklige Dreiecke. Um die Oberfläche zu berechnen, kannst du ein Körpernetz der Pyramide verwenden. Oberfläche Pyramide – FormelDer Flächeninhalt der quadratischen Grundfläche ist: $A_{\Box} = a^{2}$ Hierbei ist $a$ die Seitenlänge des Quadrates. Der Flächeninhalt jedes der Dreiecke der Seitenfläche ist: $A_{\Delta} = \frac{1}{2} a \cdot h_{\Delta}$ Hierbei ist $h_{\Delta}$ die Höhe des Dreiecks. Diese Höhe $h_{\Delta}$ ist die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks. Die beiden Katheten sind die Höhe $h$ der Pyramide und die Hälfte $\frac{1}{2} a$ einer Seite des Quadrates. Mit dem Satz des Pythagoras kannst du die Höhe $h_{\Delta}$ berechnen: $h_{\Delta} = \sqrt{h^2 + \frac{a^{2}}{4}}$ Nun können wir alle Terme einsetzen und erhalten für die Oberfläche der Pyramide die Formel: $O= A_{\Box} + 4 \cdot A_{\Delta} = a^{2} + 2 \cdot a \cdot \sqrt{h^{2} + \frac{a^{2}}{4}}$ Oberfläche Pyramide – BeispielWir betrachten eine quadratische Pyramide mit der Seitenlänge $a=3,5$ und der Höhe $h=1,75$. Der Flächeninhalt der Grundfläche ist dann: $A_{\Box} = (3,5)^{2} = 12,25$ Jede der vier Seitenflächen hat den Flächeninhalt: $A_{\Delta} = \frac{1}{2} \cdot 3,5 \cdot \sqrt{\left(\frac{3,5}{2}\right)^{2} + (1,75)^{2}} = 1,75 \cdot \sqrt{6,125} \approx 4,33$ Der Oberflächeninhalt der Pyramide ist: $O = A_{\Box} + 4 \cdot A_{\Delta} \approx 29,58$ Sind die Längen in der Einheit $\text{m}$ angegeben, so beträgt die Oberfläche $O \approx 29,58 \text ~\text{m}^{2}$. Volumen Pyramide – DefinitionDas Volumen eines Körpers ist der Rauminhalt, den der Körper ausfüllt. Bei einem Hohlköper ist das Volumen ein Maß für das Fassungsvermögen des Körpers. Volumen Pyramide – FormelDas Volumen einer Pyramide kannst du mit der Formel $V = \frac{1}{3} \cdot A_{G} \cdot h$ berechnen. Hierbei ist ${A_{G}}$ der Flächeninhalt der Grundfläche und $h$ die Höhe der Pyramide. Für das Volumen einer quadratischen Pyramide mit der Seitenlänge $a$ bei der quadratischen Grundfläche erhältst du folgende Formel: $V = \frac{1}{3} \cdot a^{2} \cdot h$ Volumen Pyramide – BeispielDie quadratische Pyramide oben im Bild hat die Seitenlänge $a= 3,5$ und die Höhe $h=1,75$. Das Volumen ist daher: $V = \frac{1}{3} \cdot (3,5)^{2} \cdot 1,75 \approx 7,15$ Sind die Längen in der Einheit $\text{m}$ angegeben, so beträgt das Volumen der quadratischen Pyramide $V \approx 7,15 \text ~\text{m}^{3}$. Volumen Pyramide – HerleitungBei der Pyramide oben im Bild ist die Höhe genau die Hälfte der Seitenlänge. Deswegen kannst du sechs dieser Pyramiden zu einem Würfel zusammensetzen: Die Seitenlänge des Würfels ist $a$, und sein Volumen ist $V = a^{3}$. Ein Sechstel davon ist das Volumen dieser speziellen Pyramide: $V = \frac{a^{3}}{6} = \frac{1}{3} \cdot a^{2} \cdot \frac{a}{2} = \frac{1}{3} \cdot A_{G} \cdot h$ Hier ist $A_{G}$ der Flächeninhalt der quadratischen Grundfläche, also $A_{G} = a^{2}$. und $h = \frac{a}{2}$, also die Höhe der Pyramide. Diese Herleitung gilt nur für die spezielle quadratische Pyramide mit $h = \frac{a}{2}$. Aber die Formel $V = \frac{1}{3} \cdot A_{G} \cdot h$ ist die Formel für das Volumen jeder Pyramide. Transkript Pyramide – Volumen und Oberfläche berechnenGuido Globustrotter ist auf einem Outdoortrip durch Kanada. Zeit ein Nachtlager zu errichten und als richtiger Outdoor-Freak will er natürlich unter freiem Himmel übernachten. Ok, um wenigstens vor Regen geschützt zu sein, spannt er eine Plane zwischen 4 Bäumen, um darunter behütet schlafen zu können. Gute Nacht Guido... Ähm warte mal.... was ist das? Scheint als wäre Guidos Schlafplatz auch bei jemand anderem sehr beliebt. Damit er in der nächsten Nacht besser vor ungebetenen Gästen geschützt ist, möchte Guido aus seiner Plane ein Zelt errichten. Um ihm bei den notwendigen Überlegungen zu helfen, werden wir das Volumen und die Oberfläche von quadratischen Pyramiden berechnen. Guido möchte aus seiner Plane ein pyramidenförmiges Zelt mit quadratischer Grundfläche bauen. Das Zelt soll möglichst so hoch sein, damit er relativ gut darin stehen kann, Guido ist nicht der Größte, also sollte eine Höhe von 1 Meter 75 genügen. Zum Abstützen des Zeltes nutzt er einen Stock, der genau so groß ist wie er, zum Beispiel diesen hier. Außerdem möchte Guido bequem in dem Zelt liegen - und all seine Sachen darin verstauen können, eine Seitenlänge von 3 Metern 50 sollte also völlig genügen. Wir lassen bei den Rechnungen die Einheiten weg – für die Ergebnisse müssen wir sie aber natürlich beachten. Aber reicht die Fläche seiner Plane aus, um daraus das entsprechende Zelt zu bauen? Er weiß, dass die Plane quadratisch ist und eine Fläche von 6 mal 6 Metern, also 36 Quadratmetern hat. Um zu überprüfen, ob Guido ein Zelt mit den gegebenen Maßen bauen kann, berechnen wir die Oberfläche des pyramidenförmigen Zeltes. Die Oberfläche einer quadratischen Pyramide setzt sich zusammen aus einer quadratischen Fläche, der sogenannten Grundfläche, und 4 Dreiecksflächen, den Seitenflächen der Pyramide. Der Flächeninhalt der quadratischen Grundfläche lässt sich berechnen mit dem Term "a mal a", oder kurz "a zum Quadrat". Das können wir gleich hier einsetzen. Der Flächeninhalt eines allgemeinen Dreiecks wird mit Hilfe der Formel "ein Halb g mal h" berechnet, wobei g die Grundseite des Dreiecks ist, bei uns also die Seite a. Und h ist die Höhe des Dreiecks, die wir als h Dreieck bezeichnen. Da wir jedoch die Höhe des Dreiecks nicht gegeben haben, müssen wir sie noch mit einer Hilfsrechnung ermitteln. Dafür zeichnen wir hier eine Hilfslinie von der Spitze der Pyramide sekrecht auf die Grundfläche, und hier eine Hilfslinie, die diesen Punkt und die Höhe des Dreiecks verbindet. Erkennst du welche Form dadurch entsteht? Ein rechtwinkliges Dreieck, also können wir die Seitenlängen dieses Dreiecks mit Hilfe des Satzes des Pythagoras berechnen. Dieser lautet "c zum Quadrat ist gleich a zum Quadrat + b zum Quadrat". Bei unserem Hilfsdreieck entspricht die Höhe des Dreiecks der Hypotenuse, also ersetzen wir c mit h Dreieck. Die beiden Katheten entsprechen dann der Höhe der Pyramide, h Pyramide und dieser Seite. Aber wie lang ist diese Seite? Da es eine regelmäßige quadratische Pyramide ist, trifft diese Hilfslinie genau auf die Mitte der Grundfläche, also ist diese Seite ... genau "a Halbe" lang. Ziehen wir nun noch die Wurzel, so erhalten wir die Formel zur Berechnung der Höhe des Dreiecks. Nun können wir in unserer Formel zur Berechnung der Dreiecksfläche h Dreieck durch diesen Term ersetzen. Und diesen Term können wir in die Formel zur Berechnung des Oberflacheninhalts der Pyramide einsetzen. Dann vereinfachen wir noch. Endlich haben wir die Formel zur Berechnung der Oberfläche der Pyramide. Diese hängt nur noch von bekannten Seiten ab. Also können wir die gegebenen Werte einsetzen und wir vereinfachen, berechnen die Wurzel, diese ist rund 2,475, wir fassen zusammen und erhalten für die Oberfläche der Pyramide rund 29,58. Da die Seiten in der Einheit Meter gegeben sind, beträgt die Fläche der Pyramide also rund 29,58 Quadratmeter. Da Guidos Plane eine Fläche von 36 Quadratmetern hat, reicht diese also, um die entsprechende Pyramide daraus bauen zu können, sehr schön. Um ganz auf der sicheren Seite zu sein, möchte Guido auch wissen, ob er und sein großer Rucksack in das Zelt passen. Der Rucksack fasst ein Volumen von 100 Litern, also sollte das Zelt ein größeres Volumen besitzen, denn Guido möchte ja auch noch Platz im Zelt haben. 100 Liter sind 100 Kubikdezimeter oder auch 0,1 Kubikmeter. Soweit zur Vorüberlegung. Wir müssen also das Volumen der Pyramide berechnen. Um auf die Formel für das Volumen zu kommen, überlegen wir uns, dass wenn wir 6 dieser regelmäßigen quadratischen Pyramiden an ihren Spitzen zusammensetzen ein Würfel mit der Seitenlänge a entsteht. Das Volumen des Würfels berechnen wir mit der Formel "V Würfel ist gleich a mal a mal a" oder kurz "a hoch 3". Wie wir gesehen haben, entspricht das Volumen dieses Würfels 6 mal dem Volumen einer dieser Pyramiden. Nur dieser Teil hier interessiert uns, teilen wir durch 6, erhalten wir: Das Volumen der Pyramide ist gleich "a hoch 3 durch 6". Setzen wir nun den Wert für a ein erhalten wir ein Volumen von rund 7,15. Auch hier sind die Werte in der Einheit Meter gegeben, deshalb hat die Pyramide ein Volumen von rund 7,15 Kubikmetern. Also reicht das Zelt locker für Guido und sein Gepäck. Aber Vorsicht, wir haben hier einen Spezialfall, da die Höhe der Pyramide genau der Hälfte der Seitenlänge der Grundseite entspricht. Die allgemeine Formel zur Berechnung des Volumens einer quadratischen Pyramide lautet "ein Drittel mal a zum Quadrat mal die Höhe der Pyramide". Setzen wir für die Höhe der Pyramide a Halbe ein und fassen zusammen, erhalten wir genau die eben genutzte Formel. Während Guido sein Quartier bezieht und wohlverdient und behütet ins Traumland entschwindet, fassen wir kurz zusammen, was wir gelernt haben. Die Oberfläche einer regelmäßigen quadratischen Pyramide setzt sich zusammen aus: Der quadratischen Grundfläche und der Mantelfläche, die aus 4 kongruenten Dreiecken besteht. Mathematisch kann man das so schreiben oder eben so. Da die Grundfläche quadratisch ist, nutzen wir zur Berechnung die Formel "A Quadrat ist gleich a hoch 2", wobei a die Seitenlänge der Grundseite ist. Der Flächeninhalt eines Dreiecks lässt sich berechnen durch "ein Halb mal Grundseite mal die Höhe des Dreiecks", diese Grundseite entspricht hier genau a. Damit erhalten wir die Formel für die Berechnung der Oberfläche solch einer Pyramide. Je nachdem, welche Größen gegeben sind, muss man eventuell noch, so wie bei uns, durch eine Hilfsrechnung unbekannte Seiten bestimmen. Die Formel zur Berechnung des Volumens unserer ganz speziellen quadratischen Pyramide lautet "V Pyramide ist gleich a hoch 3 durch 6". Diese Formel gilt jedoch, wie wir gesehen haben, nur deshalb, weil die Höhe der Pyramide genau die Hälfte ihrer Grundseite betrug. Generell lautet die Formel zur Berechnung des Volumens einer quadratischen Pyramide: "V Pyramide ist gleich 1 Drittel mal der quadratischen Grundfläche mal der Höhe der Pyramide". Zurück zu Guido und seinem Nachtquartier. Das Zelt scheint den Bären wirklich abzuschrecken, zumindest wäre es wohl sehr unbequem, sich hier oben niederzulassen. Guidos Plan scheint aufgegangen zu sein. Nach so einer guten Nacht muss Guido doch erholt sein und seine Tour beschwingt fortsetzen können... Guten Morgen Guido! Gut geschlafen hat Guido wahrscheinlich nicht - aber wenigstens war es schön warm. WEITERLESEN14 Kommentare14 Kommentare
Mehr Kommentare Pyramide – Volumen und Oberfläche berechnen ÜbungDu möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Pyramide – Volumen und Oberfläche berechnen kannst du es wiederholen und üben.
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