Differentialgleichung einfach erklärtim Videozur Stelle im Video springen Show
(00:14) Eine Differentialgleichung ist eine Gleichung aus Funktion und Ableitung(en). Du hast dann deine Funktion y(t) in Abhängigkeit ihrer Ableitung(en) angegeben. Hat deine Funktion nur eine Variable t, nennst du das eine gewöhnliche Differentialgleichung. Hier hast du ein Beispiel für eine gewöhnliche Differentialgleichung (DGL) 1. Ordnung: y'(t) = 2 • y(t) Wieso 1. Ordnung? Weil deine Differentialgleichung nur die erste Ableitung enthält. Oft kennzeichnest du in Differentialgleichungen die Ableitungen auch mit Punkten (Newton-Notation) statt mit Strichen, so wie bei diesem Beispiel hier:
 Hier stehen die zwei Punkte über dem y für die zweite Ableitung und der eine Punkt für die erste Ableitung. Es handelt sich also um eine DGL 2. Ordnung. Hast du eine Differentialgleichung höherer Ordnung gegeben, kannst du dir die allgemeine Formel merken:
Hier hängt deine DGL sogar von der n-ten Ableitung ab. Wenn du eine Differentialgleichung lösen sollst, musst du eine konkrete Funktion für y(t) angeben. Wie das geht, schauen wir uns jetzt an! Differentialgleichung erster Ordnung Beispielim Videozur Stelle im Video springen (01:15) Die DGL enthält nur die Funktion y(t) und ihre erste Ableitung y'(t): y'(t) = 2 • y(t) An der Gleichung kannst du ablesen, dass die Ableitung genau das 2-fache der ursprünglichen Funktion ist. Oft lässt du sogar das Argument (t) weg, wenn klar ist, von was deine Funktion abhängt: y‘ = 2 • y Jetzt kannst du y‘ noch in der Differential-Schreibweise angeben:
Wenn du mit dt multiplizierst, erhältst du:
Anschließend kannst du noch durch 2y teilen. So trennst du y und t voneinander (Trennung der Variablen):
Zum Schluss musst du nur noch das Integral auf beiden Seiten bilden:
Die Gleichung kannst du jetzt nach y auflösen:
Eine Lösung deiner DGL wäre also Differentialgleichung zweiter Ordnung Beispiel
im Videozur Stelle im Video springen (02:15) Die DGL zweiter Ordnung hängt auch zusätzlich noch von der zweiten Ableitung ab.
Deine zweite Ableitung von y(t) ist also die Summe aus 6 mal y und und der ersten Ableitung von y. Hier wäre jetzt
Die zweite Ableitung wäre:
Setzt du die Lösung in deine Differentialgleichung ein, ergibt sich:
Das stimmt! Differentialgleichung n-ter Ordnungim Videozur Stelle im Video springen (03:00) Natürlich kann deine DGL auch so aussehen: Das ist dann eine Differentialgleichung n-ter Ordnung. Du benennest die Ordnung also immer nach der höchsten Ableitung! Jetzt kannst du dir noch zwei wichtige Begriffe merken: Ist eine Differenzialgleichung nach der höchsten Ableitung aufgelöst, nennst du sie explizit:
Die Beispiele, die du dir oben angeschaut hast, waren alle explizit! Ist deine Differenzialgleichung nicht nach der höchsten Ableitung aufgelöst, heißt sie implizit. Differentialgleichungen Anwendungsbeispielim Videozur Stelle im Video springen (03:42) Differentialgleichungen findest du auch oft in der Physik oder anderen Naturwissenschaften. Deshalb kann es hilfreich sein, sich auch mit Anwendungsbeispielen auseinanderzusetzen. Schau dir dafür die Differentialgleichung des freien Falls im Vakuum an. Hier betrachtest du die Beschleunigung, Geschwindigkeit und den Weg eines Gegenstandes im freien Fall.
Hier steht g für die Gravitationskonstante 9,81 m/s2. Da für t=0 der Gegenstand sich nicht bewegen soll, hast du die Nebenbedingung v(0) = y'(0)=0.
Um jetzt die Funktion y(t) zu finden, musst du erstmal die erste Ableitung berechnen, indem du y“(t) integrierst:
Da y'(0)=0 gilt, muss Cgleich Null sein. Für deine Funktion y(t) musst du jetzt noch ein zweites Mal integrieren:
y(t) beschreibt den freien Fall im Vakuum. Partielle DifferentialgleichungenWas ist jetzt, wenn deine Funktion von mehreren Variablen abhängt x(t, y) und du eine eine DGL lösen muss? Das nennst du dann eine partielle Differentialgleichung ! Wenn du mehr dazu wissen möchtest, schau dir doch direkt unser Video dazu an. Ist eine Lösung der Differentialgleichung?Eine Differentialgleichung (kurz Diff. 'gleichung oder DGL) ist eine Gleichung, in der eine Funktion und auch Ableitungen von dieser Funktion auftauchen können. Die Lösung dieser Art von Gleichung ist eine Funktion – keine Zahl!
Was gibt die Differentialgleichung an?Eine Differentialgleichung (auch Differenzialgleichung, oft durch DGL, DG, DGl. oder Dgl. abgekürzt) ist eine mathematische Gleichung für eine gesuchte Funktion von einer oder mehreren Variablen, in der auch Ableitungen dieser Funktion vorkommen.
Was ist die partikuläre Lösung einer DGL?Die partikulare Lösung der Differenzialgleichungen x a p ( t ) berücksichtigt die Eingangsgröße, die in der Berechnung der Lösung der homogen Differenzialgleichungen x a h ( t ) noch nicht eingegangen ist. Die vorhandenen Integrationskonstanten werden dabei aus den Anfangsbedingungen bestimmt.
Wie erkenne ich eine Differentialgleichung?Eine Differentialgleichung (kurz: DGL) erkennst du daran, dass in ihr neben der gesuchten Funktion auch Ableitungen dieser Funktion vorkommen. Wie in diesem Fall die zweite Ableitung von nach der Zeit .
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Was ist die allgemeine Lösung einer Differentialgleichung?
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