Unterschied grenzrate der substitution grenzrate der technischen substitution

Alexei sind seine Abschlussnote und seine freie Zeit wichtig. Wir haben gesehen, dass seine Präferenzen mit Hilfe von Indifferenzkurven grafisch dargestellt werden können und dass seine Bereitschaft, Notenpunkte gegen freie Zeit einzutauschen—seine Grenzrate der Substitution—durch die Steigung der Indifferenzkurve dargestellt wird. Hier zeigen wir, wie man seine Präferenzen mathematisch darstellen kann.

Erinnern Sie sich daran, dass eine Indifferenzkurve Kombinationen von prozentualen Notenpunkten und Freizeit zusammenfasst, die Alexei den gleichen Nutzen geben. Präferenzen können mathematisch dargestellt werden, indem man eine Nutzenfunktion aufschreibt, die uns sagt, wie die „Einheiten des Nutzens“ einer Person von den verfügbaren Gütern abhängen. Alexei interessiert sich nur für zwei Güter: seine Freizeit und seine Abschlussnote. Wenn er Einheiten Freizeit und Notenpunkte hat, ist sein Nutzen durch eine Funktion gegeben:

Da sowohl die Note als auch die freie Zeit Güter sind— möchte Alexei von beidem so viel wie möglich haben— die Nutzenfunktion muss die Eigenschaft haben, dass eine Erhöhung von entweder oder erhöhen würde. In diesem Fall sagen wir, dass der Nutzen positiv von und abhängt.

Die Nutzenfunktion von Alexei hat zwei Argumente. So wie eine Funktion einer Variablen grafisch durch eine Kurve in einer Ebene dargestellt werden kann, kann eine Funktion von zwei Variablen durch eine Fläche im dreidimensionalen Raum dargestellt werden. Da dreidimensionale Diagramme umständlich zu handhaben sind, analysieren Ökonominnen und Ökonomen den Nutzen grafisch mit der gleichen Technik, die auch zur Darstellung des dreidimensionalen Raums, in dem wir leben, verwendet wird: einer Höhenlinienkarte. Höhenlinien sind Linien, die Punkte gleicher Höhe über dem Meeresspiegel verbinden. In ähnlicher Weise sind Indifferenzkurven die Höhenlinien der Nutzenoberfläche, die Punkte mit gleichem Nutzen miteinander verbinden.

In Alexeis Fall zeigt eine Indifferenzkurve alle Kombinationen von Freizeit und Notenpunkten, die ihm den gleichen Nutzen bringen. Die Gleichung einer typischen Indifferenzkurve lautet:

wobei die Konstante für das auf der Kurve erreichte Nutzenlevel steht. Unterschiedliche Werte von entsprechen unterschiedlichen Indifferenzkurven: Wenn wir erhöhen, erhalten wir eine neue Indifferenzkurve, die oberhalb und rechts der alten liegt. Sie können drei von Alexeis Indifferenzkurven in Abbildung 3.6 des Textes sehen, die wir unten als Abbildung 1 wiedergeben.

Abbildung 1 Abbildung von Alexeis Präferenzen.

Die Grenzrate der Substitution

Bei einer beliebigen Kombination aus Freizeit und Note ist Alexeis Grenzrate der Substitution (GRS) (das heißt, seine Bereitschaft, Notenpunkte gegen eine zusätzliche Stunde Freizeit einzutauschen) durch die Steigung der Indifferenzkurve durch diesen Punkt gegeben.

Wie können wir die Steigung der Indifferenzkurve berechnen?

Dazu müssen wir die partiellen Ableitungen der Nutzenfunktion verwenden. Zum Beispiel gibt an, wie sich der Nutzen ändert, wenn steigt und konstant bleibt. In der Volkswirtschaftslehre wird die partielle Ableitung als Grenznutzen der freien Zeit bezeichnet. In ähnlicher Weise ist der Grenznutzen von Notenpunkten. Wir haben bereits festgestellt, dass der Nutzen positiv von und abhängt. Mit anderen Worten: Alexeis Grenznutzen sind beide positiv.

Wir berechnen die Steigung der Indifferenzkurve mit Hilfe einer Technik, die wir implizite Differenzierung nennen und die wir in späteren Leibniz-Abschnitten wiederfinden werden. Im vorliegenden Fall beinhaltet die Methode die Überlegung, wie sich die Notenpunkte ändern müssten, wenn die Freizeit um einen kleinen Betrag erhöht würde, um den Nutzen konstant zu halten.

Angenommen, sowohl als auch ändern sich um kleine Beträge und . Die Formel der kleinen Zuwächse für Funktionen von zwei Variablen liefert eine Annäherung an die Änderung des Nutzens , indem sie sie als Summe eines „Freizeit-Effekts“ und eines „Prüfungsnoten-Effekts“ ausdrückt:

Wenn die Änderungen und so sind, dass Alexei auf der gleichen Indifferenzkurve bleibt, dann ändert sich sein Nutzen nicht; also , was bedeutet, dass

Neu angeordnet,

Die Änderungen und ergeben zusammen eine kleine Bewegung entlang einer Indifferenzkurve. Wenn wir nun den Grenzwert von auf setzen, nähert sich die linke Seite der Steigung dieser Kurve an und die Näherung wird zu einer Gleichung.

Die Steigung der Indifferenzkurve durch einen beliebigen Punkt ist also durch die Formel gegeben:

Die rechte Seite dieser Gleichung ist negativ, da beide Grenznutzen positiv sind: Wenn Sie entweder die Freizeit oder die Prüfungsnote erhöhen, steigt Alexeis Nutzen. Die Indifferenzkurven verlaufen also abwärts, wie im Diagramm dargestellt. Um Verwirrung zu vermeiden, definieren wir die Grenzrate der Substitution (GRS) gewöhnlich als den absoluten Wert der Steigung. Also:

oder, in Worten,

Wenn wir die GRS als positive Zahl definieren, können wir zum Beispiel sagen, dass die GRS an Punkten, an denen die Indifferenzkurve steiler ist, höher ist (Alexei ist eher bereit, Notenpunkte gegen Freizeit zu tauschen), während die Steigung der Indifferenzkurve an solchen Punkten negativer ist.

Die GRS ist die Rate, zu der Alexei bereit ist, Notenpunkte gegen zusätzliche Stunden Freizeit zu tauschen. Die obige Gleichung, die die GRS als Verhältnis der Grenznutzen ausdrückt, kann wie folgt interpretiert werden: Die GRS ist ungefähr gleich dem zusätzlichen Nutzen, der sich aus einer zusätzlichen Einheit Freizeit ergibt, geteilt durch den zusätzlichen Nutzen, der sich aus einem zusätzlichen Notenpunkt ergibt. Wie üblich bei der Interpretation exakter rechnerischer Aussagen in Bezug auf einzelne Einheiten ist die Annäherung gut, wenn es sich bei den Einheiten um kleine Mengen handelt.

Konvexe Präferenzen

Jede Indifferenzkurve in Abbildung 1 wird flacher, je weiter man sich nach rechts bewegt:

Alexeis GRS sinkt, wenn seine Freizeit größer wird und seine Notenpunkte so sinken, dass sein Nutzen konstant bleibt. Diese Eigenschaft von Alexeis Präferenzen ist als abnehmende Grenzrate der Substitution bekannt und wird normalerweise angenommen, wenn wir Indifferenzkurven mit zwei Gütern zeichnen.

Eine andere Möglichkeit, diese Annahme zu beschreiben, ist die Feststellung, dass Alexeis Indifferenzkurven konvex sind. Wenn wir, mathematisch ausgedrückt, die Gleichung einer Indifferenzkurve in der Form umschreiben, dann ist eine abnehmende und konvexe Funktion von für gegebenes . Wir sagen, dass Alexei konvexe Präferenzen hat.

Eine Person, deren Präferenzen konvex sind, bevorzugt immer Mischungen von Gütern gegenüber den Extremen eines der beiden Güter. Wenn wir eine Linie zwischen zwei Punkten auf derselben Indifferenzkurve ziehen, dann ist jeder Punkt auf der Linie eine Mischung aus den beiden Endpunkten. Wenn die Indifferenzkurven konvex sind, bieten alle Punkte auf der Linie zwischen den Endpunkten einen höheren Nutzen als die Endpunkte.

Wir werden im nächsten Abschnitt ein Beispiel für eine Nutzenfunktion mit abnehmender GRS geben.

Lesen Sie mehr: Abschnitte 14.2 (für die Formel für kleine Inkremente) und 15.1 (für Konturen und implizite Differenzierung) von Malcolm Pemberton und Nicholas Rau. 2015. Mathematics for economists: An introductory textbook, 4th ed. Manchester: Manchester University Press.

Ein Beispiel: Die Cobb-Douglas-Nutzenfunktion

In diesem Abschnitt befassen wir uns mit einer bestimmten Nutzenfunktion, die in der Volkswirtschaftslehre häufig verwendet wird. Wir leiten Ausdrücke für die Grenznutzen und die Grenzrate der Substitution ab und überprüfen ihre Eigenschaften.

Wie zuvor ist Alexei an seiner Freizeit und seiner Prüfungsnote interessiert. Nehmen wir an, dass seine Nutzenfunktion lautet:

wobei und positive Konstanten sind. Diese Funktion hat einige sehr praktische mathematische Eigenschaften. Sie wird nach den beiden Personen, die sie in die Volkswirtschaftslehre eingeführt haben, als Cobb-Douglas-Funktion bezeichnet.

Um die Grenznutzen der Freizeit und der Prüfungsnote zu ermitteln, müssen wir die partiellen Ableitungen der Nutzenfunktion bestimmen. Wenn wir nach ableiten, sehen wir, dass der Grenznutzen der freien Zeit lautet:

Aus der Nutzenfunktion wissen wir, dass , was uns einen einfacheren Ausdruck für den Grenznutzen der freien Zeit liefert:

Ebenso ist der Grenznutzen der Prüfungsnote:

Beachten Sie, dass, wenn und positiv sind, auch positiv ist. Daher impliziert die Annahme, dass ebenfalls positiv ist, dass . In ähnlicher Weise impliziert , dass . Mit anderen Worten: Die Annahme, dass sowohl als auch positiv sind, stellt sicher, dass „Güter gut sind“: Alexeis Nutzen steigt, wenn die Freizeit oder die Notenpunkte zunehmen.

Im vorherigen Abschnitt haben wir die Grenzrate der Substitution (GRS) zwischen freier Zeit und Notenpunkten als den absoluten Wert der Steigung einer Indifferenzkurve definiert und gezeigt, dass sie gleich dem Verhältnis des Grenznutzens der freien Zeit zum Grenznutzen der Prüfungsnote ist. Mit der Cobb-Douglas-Nutzenfunktion:

Die Indifferenzkurven verlaufen im -Raum abwärts, das heißt, wenn wir uns entlang einer Indifferenzkurve nach rechts bewegen, steigt und fällt, und somit fällt . Da und positiv sind, fällt auch die GRS. Die Cobb-Douglas-Nutzenfunktion impliziert also eine abnehmende GRS.

Lesen Sie mehr: Abschnitte 15.1 und 15.2 von Malcolm Pemberton und Nicholas Rau. 2015. Mathematics for economists: An introductory textbook, 4th ed. Manchester: Manchester University Press.

Was ist die Grenzrate der technischen Substitution?

Was sagt GRTS aus?

Warum nimmt das Grenzprodukt der Arbeit ab?

Was bedeutet ein abnehmendes Grenzprodukt?