Und noch eine zeitsparende RegelWenn du Potenzen mit verschiedenen Basen, aber gleichem Exponenten, malnehmen willst, kannst du sie erst einmal als Produkte schreiben, die Faktoren neu sortieren und dann das Ganze wieder als Potenz schreiben. Show $$2^2*3^2 = 2 * 2* 3*3=2*3*2*3=(2*3)*(2*3)$$ $$=6*6=6^2 $$ └────────────────┘ └────────┘ Reihenfolge vertauschen klammern Es geht aber auch schneller: Du kannst die Gleichheit bestätigen:
$$x^3*y^3 = x*x*x* y*y*y=x*y*x*y*x*y$$ └─────────────────────────┘ Reihenfolge vertauschen $$=(x*y)*(x*y)*(x*y)$$ $$=(x*y)^3$$ Oder einfach: $$x^3*y^3=(x*y)^3$$ 2.
Potenzgesetz - Teil 1 $$a^n*b^n=(a*b)^n$$ Und mit BrüchenAuch beim 2. Potenzgesetz erhältst du eine Regel für die Division von Potenzen mit gleichem Exponenten. $$2^2:3^2 =2^2/3^2=(2*2)/(3*3)=2/3*2/3=(2/3)^2 $$ Oder einfach: $$2^2:3^2 =2^2/3^2=(2/3)^2 $$ Du kannst die Gleichheit bestätigen: $$2^2:3^2 =2^2/3^2=4/9 $$ und $$(2/3)^2 =2/3*2/3=4/9$$
$$x^3:y^3 = x^3/y^3=(x*x*x)/(y*y*y)=x/y*x/y*x/y=(x/y)^3$$ Oder einfach: $$x^3:y^3=x^3/y^3=(x/y)^3$$ 2. Potenzgesetz - Teil 2 $$a^n:b^n=(a^n)/(b^n)=(a/b)^n=(a:b)^n$$ Für die Multiplikation von Brüchen gilt $$ ("Zähler mal Zähler") / (\text{Nenner mal Nenner $$ Mit Tricks arbeitenManchmal ist bei Aufgaben nicht ganz offensichtlich, wie du welche Regel nimmst. Forme dann den Term so um, dass du die Regel gut anwenden kannst. Beispiel 1: $$= 2 *
2* 1/3*1/3=2*1/3*2*1/3=2/3*2/3=(2/3)^2 $$ Oder einfach: $$2^2*3^(-2) =2^2/3^2=(2/3)^2 $$ Schreibe die Aufgabe „passend“ für die Regel. Beispiel 2: Mit Variablen Ziemlich umständlich: $$=(x*x*x)/(y*y*y)=x/y*x/y*x/y=(x/y)^3$$ Oder einfach: $$x^3*y^(-3)=x^3/y^3=(x/y)^3$$ Noch nicht kapiert?kapiert.dekann mehr:
Und noch ein Trick!Du kennst die Aufgabenstellung: „Vereinfache so weit wie möglich.“ Nur weißt du oft nicht, wie du anfangen sollst. Mathematische Regeln kannst du fast immer vorwärts und rückwärts anwenden. Beispiel 1: $$2^3*6^(-3) = 2^3/6^3=(2^3)/((2*3)^3)=(2^3)/(2^3*3^3)=1/3^3=1/27$$ Um den Term vereinfachen zu können, zerlegst du $$6=2*3$$ in Faktoren. Dann kannst du das 2. Potenzgesetz rückwärts anwenden und anschließend kürzen. Beispiel 2: $$(2/3)^3*2^(-3)=2^3/3^3*1/2^3=2^3/(3^3*2^3)=1/3^3=1/27$$ Hier kannst du das 2. Potenzgesetz für die Division für den ersten Faktor $$(2/3)^3$$ und die Definition von Potenzen mit negativem Exponenten für $$2^(-3)$$ anwenden. Danach hältst du dich an die Bruchrechenregeln. Du kannst einen Bruch kürzen, indem du Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl dividierst. Wenn du einen Term vereinfachen sollst, ist damit oft das Kürzen eines Bruchs gemeint. Raffiniert kombiniert!Wenn du einen Term mit Potenzen vereinfachen sollst, musst du wissen, ob du das erste oder das zweite Potenzgesetz anwenden kannst. Oder sogar beide! Versteckt!$$2^4/6^2 =2^4/(2*3)^2=2^4/(2^2*3^2)=2^4/2^2*1/3^2=2^(4-2)*1/3^2=2^2*1/3^2=4/9 $$ Auf den ersten Blick passt hier keines der beiden Gesetze. Du nutzt aus, dass $$6=2*3$$ ein Produkt
ist, sodass du für den Nenner des Bruchs das 2. Potenzgesetz - rückwärts - anwenden kannst: $$6^2 =(2*3)^2=2^2*3^2$$. Wie rechnet man Potenzen mit gleicher Basis?Potenzen mit gleichen Basen werden multipliziert, indem man ihre Exponenten addiert und die Basis beibehält. Potenzen mit gleichen Exponenten werden multipliziert, indem man die Basen multipliziert und den Exponenten beibehält.
Wie kann man Potenzen umschreiben?Wenn du zwei Potenzen mit dem gleichen Exponenten dividierst, dividierst du nur die Basis und lässt den Exponenten gleich. Wenn zwei Exponenten hintereinander stehen, kannst du die Exponenten multiplizieren. Wenn im Exponenten ein Bruch steht, kannst du die Potenz zu einer Wurzel umschreiben.
Wie Addiert man zwei Potenzen mit gleicher Basis?Aber wie kannst du Potenzen addieren? Voraussetzung: Du kannst Potenzen nur addieren, wenn die Basis und der Exponenten gleich sind. Du rechnest dann einfach die Zahlen vor der Potenz zusammen, zum Beispiel: 2x3 + 5x3 = 7x.
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