Was rechne ich mit der PQ Formel aus?

Grundsätzlich können wir die pq-Formel auf alle vier Arten anwenden. Empfehlenswert ist eine Anwendung allerdings nur für gemischtquadratische Gleichungen mit Absolutglied, weil für die anderen Arten einfachere Lösungsverfahren existieren.

Inhaltsverzeichnis Show

Formel
Anleitung
Beispiele
Was rechne ich mit der PQ Formel?
Kann man Nullstellen mit der PQ Formel berechnen?
Was ist besser PQ Formel oder Mitternachtsformel?
Wann nimmt man die PQ Formel und wann die quadratische Ergänzung?

Formel

Quadratische Gleichung in Normalform

$$ x^2 + px + q = 0 $$

pq-Formel

$$ x_{1, 2} = -\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{{\fcolorbox{yellow}{}{$\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q$}}} $$

Fallunterscheidung

$$ x_{1} = -\dfrac{p}{2} - \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q} $$

$$ x_{2} = -\dfrac{p}{2} + \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q} $$

Anleitung

Quadratische Gleichung in Normalform bringen

$\boldsymbol{p}$ und $\boldsymbol{q}$ aus der Normalform herauslesen

$\boldsymbol{p}$ und $\boldsymbol{q}$ in die pq-Formel einsetzen

Lösungen berechnen

Lösungsmenge aufschreiben

zu 1)

Fehlerquelle

Dass $x^2 + q = 0$ 2 nicht in Normalform vorliegt, sieht jeder.

Dass $x^2 + q = 0$ 3 nicht in Normalform vorliegt, wird aber gern übersehen. Wir müssen hier nämlich durch $x^2 + q = 0$ 4 dividieren, um das negative Vorzeichen von $x^2 + q = 0$ 5 loszuwerden. Die Normalform von $x^2 + q = 0$ 3 ist $x^2 + q = 0$ 7. Wir erinnern uns: Bei Division durch eine negative Zahl drehen sich alle Vorzeichen um.

zu 2)

Beim Herauslesen von $x^2 + q = 0$ 8 und $x^2 + q = 0$ 9 kommt es häufig zu Fehlern.

Die folgende Tabelle zeigt für jede Gleichungsart ein Beispiel:

Reinquadratisch ohne Absolutglied $x^2 = 0$
$x^2 + px = 0$ 1 und $x^2 + px = 0$ 2Reinquadratisch mit Absolutglied $x^2 + px = 0$ 3
$x^2 + px = 0$ 1 und $x^2 + px = 0$ 5Gemischtquadratisch ohne Absolutglied $x^2 + px = 0$ 6
$x^2 + px = 0$ 7 und $x^2 + px = 0$ 2Gemischtquadratisch mit Absolutglied $x^2 + px = 0$ 9
$x^2 + px + q = 0$ 0 und $x^2 + px + q = 0$ 1

Regeln

Wenn das lineare Glied fehlt, gilt $x^2 + px = 0$ 1.
Wenn das absolute Glied fehlt, gilt $x^2 + px = 0$ 2.
Wenn das $x^2 + px + q = 0$ 4 allein steht, gilt $x^2 + px + q = 0$ 5 (wegen $x^2 + px + q = 0$ 6).
Vorzeichen beachten: $x^2 + px + q = 0$ 7 führt zu $x^2 + px + q = 0$ 0.

zu 4)

Eine quadratische Gleichung kann keine, eine oder zwei Lösungen haben. Welcher Fall vorliegt, können wir an dem Term unter der Wurzel, also an dem Ergebnis von $x^2 + px + q = 0$ 9, erkennen. Dieser Term heißt Diskriminante.

Beispiele

Beispiel 1

Löse die quadratische Gleichung

$$ x^2 + px + q = 0 $$0

mithilfe der pq-Formel.

Quadratische Gleichung in Normalform bringen

Dieser Schritt entfällt hier, weil die quadratische Gleichung bereits in Normalform vorliegt.

$\boldsymbol{p}$ und $\boldsymbol{q}$ aus der Normalform herauslesen

$x^2 + px = 0$ 7 und $$ x^2 + px + q = 0 $$4

$\boldsymbol{p}$ und $\boldsymbol{q}$ in die pq-Formel einsetzen

$$ x^2 + px + q = 0 $$7

Lösungen berechnen

$$ x^2 + px + q = 0 $$8

Fallunterscheidung

$$ x^2 + px + q = 0 $$9

$$ x_{1, 2} = -\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{{\fcolorbox{yellow}{}{$\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q$}}} $$0

Lösungsmenge aufschreiben

$$ x_{1, 2} = -\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{{\fcolorbox{yellow}{}{$\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q$}}} $$1

Beispiel 2

Löse die quadratische Gleichung

$$ x_{1, 2} = -\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{{\fcolorbox{yellow}{}{$\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q$}}} $$2

mithilfe der pq-Formel.

Quadratische Gleichung in Normalform bringen

Dieser Schritt entfällt hier, weil die quadratische Gleichung bereits in Normalform vorliegt.

$\boldsymbol{p}$ und $\boldsymbol{q}$ aus der Normalform herauslesen

$x^2 + px = 0$ 7 und $$ x_{1, 2} = -\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{{\fcolorbox{yellow}{}{$\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q$}}} $$6

$\boldsymbol{p}$ und $\boldsymbol{q}$ in die pq-Formel einsetzen

$$ x_{1, 2} = -\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{{\fcolorbox{yellow}{}{$\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q$}}} $$9

Lösungen berechnen

$$ x_{1} = -\dfrac{p}{2} - \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q} $$0

Lösungsmenge aufschreiben

$$ x_{1} = -\dfrac{p}{2} - \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q} $$1

Beispiel 3

Löse die quadratische Gleichung

$$ x_{1} = -\dfrac{p}{2} - \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q} $$2

mithilfe der pq-Formel.

Quadratische Gleichung in Normalform bringen

Dieser Schritt entfällt hier, weil die quadratische Gleichung bereits in Normalform vorliegt.

$\boldsymbol{p}$ und $\boldsymbol{q}$ aus der Normalform herauslesen

$x^2 + px = 0$ 7 und $$ x_{1} = -\dfrac{p}{2} - \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q} $$6

$\boldsymbol{p}$ und $\boldsymbol{q}$ in die pq-Formel einsetzen

$$ x_{1} = -\dfrac{p}{2} - \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q} $$9

Lösungen berechnen

$$ x_{2} = -\dfrac{p}{2} + \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q} $$0

$$ x_{2} = -\dfrac{p}{2} + \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q} $$1 Es gibt keine reellen Lösungen, weil in der Menge der reellen Zahlen das Wurzelziehen einer Wurzel mit negativem Radikanden nicht definiert ist.

Lösungsmenge aufschreiben

$$ x_{2} = -\dfrac{p}{2} + \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q} $$2

Anmerkung

Wenn wir die Definitionsmenge der quadratischen Gleichung auf die Menge der komplexen Zahlen $$ x_{2} = -\dfrac{p}{2} + \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q} $$3 erweitern, hat diese Gleichung zwei komplexe Lösungen.

Was rechne ich mit der PQ Formel?

Um die p/q-Formel verwenden zu können, muss das x² einen Koeffizienten von eins haben. Es darf also vor dem x² nur eine „1“ oder gar nichts stehen. Ist der Koeffizient vor dem x² nicht „1“, musst du erst die gesamte Gleichung durch diesen Koeffizienten teilen.

Kann man Nullstellen mit der PQ Formel berechnen?

Eine Alternative zur Nullstellenbestimmung ist die p-q-Formel. Hierfür muss die Funktionsgleichung allerdings in Normalform vorliegen. Die Normalform einer quadratischen Gleichung ist x² + p·x + q = 0 .

Was ist besser PQ Formel oder Mitternachtsformel?

Die pq-Formel ist sicherlich einfach in der Anwendung für den Fall, dass nicht zu Anfang dividiert werden muss. Dann nämlich entstehen oft Brüche, die mit der abc-Formel (Mitternachtsformel) vermieden werden.

Wann nimmt man die PQ Formel und wann die quadratische Ergänzung?

Wo schneidet eine Parabel die x-Achse? Ja, er benutzt bei Gleichungen die PQ Formel und bei Ungleichungen die quadratische Ergänzung. Bei Gleichungen ist es egal, ob man die PQ Formel oder die Ergänzung benutzt. Bei Ungleichungen benutzt man die quadr.