Nehmen wir an, dass es eine Darstellung
mit positiven natürlichen Zahlen gibt. Wenn und einen gemeinsamen Teiler hat, so können wir mit diesem kürzen und erhalten dann eine Bruchdarstellung mit teilerfremden Zähler und Nenner. Es seien also und teilerfremd. Wir nehmen die dritte Potenz der Anfangsgleichung und erhalten
bzw.
Diese Zahl hat eine eindeutige Primfaktorzerlegung. In ihr kommt vor, so dass und daher ist, da eine Primzahl ist. Also kommt rechterseits mit einem Exponenten in der Primfaktorzerlegung vor, linkerseits aber nur mit dem Exponenten , da kein Vielfaches von ist. Dies ist ein Widerspruch.
Hi, Beispiel Gleichung:
ist die Wurzel aus 9 +/- 3 oder nur +3 ?
Einerseits ist -3 * -3 = 9
Andererseits heißt es, das es nur bei positiven Zahlen gilt.
Was stimmt jetzt?
9 = x² | Wurzel ziehen
+/- 3 = x
Gibt es jetzt zweit Lösungen oder nur eine? 10 Antworten
konrket hat man sich auf fiolgendes geeinigt: sagen wir bspw.
wurzel(9) ist 3, also die positive zahl.
Aber:
wenn due gleichungen hast und dort die wurzel ziehst, will man ja alle lösungen.
x^2=9
nun macht man folgendes:
man bildet auf beiden seiten die positive wurzel und klatscht ein +- irgendwo davor.
also
x=+-poswurzel(9)=+-3
klar könnte man stattdessen auch
+-x=poswurzel(9) shcreiben, aber das wäre sinnfrei, dan man ja nach ax auflösen will.
jedenfalls wenn da im nöchsten schritt dann
+-3 steht, heißt das nicht dass man die "nur positive wurzel" konvention ignoriert.,
Sondern dass man vielmehr die positive wurzel hinschreibt, aber ein +- davor macht um sicherzustellen dass trotzdem beide mögliche Lösungen gefunden werden.
Sieht natürlich die aufgabe vor dass nur positive x werte betrachtet werden, dann kann man den minus wert auch wegfallen lassen :-)
Es gibt zwei Lösungen, aber nur eine davon wird offiziell als Wurzel bezeichnet! =;-)
Community-Experte
Mathematik, Mathe
Die Gleichung x² = 9 hat sowohl x = 3 als auch x = -3 als Lösung. Die Quadratwurzel aus 9 ist jedoch nur 3 und nicht -3. Denn die Quaratwurzel ist als die
entsprechende nicht-negative Lösung definiert. (Und -3 ist eben negativ, passt also nicht zur Definition der Quadratwurzel.) Siehe beispielsweise: //de.wikipedia.org/wiki/Quadratwurzel#Quadratwurzeln_aus_reellen_Zahlen
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Topnutzer im Thema Schule
Die Wurzel ist grundsätzlich so definiert, dass es immer nur EINE Lösung gibt, und zwar eine POSITIVE Lösung. Das darf man nicht verwechseln mit dem Lösen quadratischer Gleichungen.
Also: √9=3 und sonst nichts!
Die quadratische Gleichung
x²=9 hat 2 Lösungen: x=3 und x=-3
Der Unterschied erklärt sich so:
x² = 9
x = ±√9
=> 2 Lösungen: x = +√9 und x = -√9
Die Vorzeichen stehen VOR der Wurzel, aber √9 selbst ist immer nur 3
Die Quadratwurzel ist definiert als diejenige positive Zahl, die quadriert die Zahl ergibt. In deinem Beispiel wäre also nur 3 die Wurzel von 9 und nicht -9. Bei der Gleichung x²=9 gibt es aber zwei Lösungen, nämlich 3 und -3.