Mathematik 5. Klasse ‐ Abitur
Die Division bzw. das Teilen ist die Umkehroperation zur Multiplikation (Malnehmen): \(\displaystyle a
\cdot b = c \ \ \Leftrightarrow \ \ a = c : b\) bzw. \(\displaystyle 5 \cdot 6 = 30 \ \ \Rightarrow \ \ 5 = 30 : 6\) Ein Rechenausdruck, in dem eine Zahl durch eine andere Zahl (oder ein Term durch einen anderen)
dividiert wird, ist ein Quotient (manchmal auch „Verhältnis“). Die Zahl links vom Doppelpunkt heißt Dividend (lateinisch: „das zu Teilende“), die rechts davon Divisor (lateiner: „das, was teilt“ bzw. der Teiler). Das Ergebnis einer Division heißt Wert des Quotienten oder auch einfach nur Quotient. Man kann komplizierte Divisionen auch ohne Taschenrechner oder Computer berechnen, nämlich mit dem schriftlichen Rechenverfahren. Außerdem kann man jeden Quotienten auch als einen
Bruch schreiben (wer
Bruchrechnung kann, braucht sich nicht mehr viel mit Doppelpunkten herumzuschlagen!). Besonderheiten der Division Man kann auch
Funktionen oder
Polynome durcheinander dividieren, dies ist Thema in der Analysis.
\(0:6=0\)
\(16:8\neq8:16\)
\((120:60):2\ne120:(60:2)\)
27 : 5 = 5 Rest 2, denn 5 · 5 + 2 = 27.
Der Divisionsrest ist immer kleiner als der Divisor, wenn er gleich null ist, geht die Division auf.
In der Menge der
Bruchzahlen bzw. der
rationalen Zahlen hat dagegen jede Division (außer durch 0) auch ein Ergebnis.
Mit dem Quotient beschäftigten wir uns in diesem Artikel. Dabei erklären wir euch, worum es sich bei einem Quotienten handelt. Außerdem erhaltet ihr eine Reihe an Beispielen zum besseren Verständnis.
Der Quotient ist das Ergebnis einer Division. Zwei Zahlen werden dividiert, das Ergebnis wird als Quotient bezeichnet. Allgemein ergibt sich das Verhältnis wie folgt:
- Dividend : Divisor = Quotient
Das klingt jetzt sehr kompliziert, ist in der Praxis aber eigentlich ganz einfach. Es folgen ein paar Beispiele:
- 6 : 2 = 3
- 8 : 4 = 2
- 12 : 3 = 4
In den Beispielen sind die Zahlen 3, 2 und 4 auf der rechten Seite der Gleichung die Quotienten.
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Quotienten spielen im Mathematikunterricht schon früh eine wichtige Rolle. Oft verstehen Schüler allerdings nicht sofort, was Quotienten sind. Damit das Thema dir keine Schwierigkeiten mehr bereitet, bekommst du hier alle Infos, die du brauchst. Wir verraten dir hier nämlich.. .. was ein
Quotient ist Und zum Schluss bieten wir dir die Möglichkeit, dein neues Wissen zu testen. Die
Division kennst du bestimmt schon etwas länger. Wenn zwei Zahlen, der Dividend und Divisor, miteinander dividiert werden, erhältst du den Quotienten. Bei dem Quotienten handelt es sich also um das Ergebnis einer Division. Damit du dir ein besseres Bild davon machen kannst, haben wir hier ein Beispiel für dich:
.. wie du den Quotienten berechnest
.. den Zusammenhang zwischen Bruchrechnung und Quotient
Bist du bereit, den Quotienten kennenzulernen? Dann lass uns gleich loslegen!
Die folgenden Beispiele zeigen dir die Divisionsrechnung noch einmal genau:
81 : 9 = 9
132 : 11 = 12
600 : 6 = 100
Quotient: So klappt die Berechnung
Wie wir dir schon erklärt haben, musst du für die Berechnung des Quotienten den Dividend mit dem Divisor dividieren.
Falls dir die Berechnung ohne den Taschenrechner Schwierigkeiten bereitet, kannst du es mit der schriftlichen Division versuchen.
Wir erklären dir die schriftliche Division anhand des folgenden Beispiels:
Schritt 1: Überlege zunächst, wie oft der Divisor, hier also die 3, in die erste Ziffer des Dividenden, also die 6, passt. In diesem Fall sind es 2 Mal, also schreibst du die 2 schon einmal in das Ergebnis.
Schritt 2: Nun nimmst du das Ergebnis und multiplizierst dieses mit dem Divisor. In unserem Fall wären das 3 x 2, also 6. Das Ergebnis schreibst du unter die erste Ziffer des Dividenden, hier also unter die 6.
Schritt 3: Ziehe dann die Zahl, die du unter die erste Ziffer des Dividenden geschrieben hast, von dieser Zahl ab. Hier wären das 6 – 6 = 0. Schreibe das Ergebnis unter die beiden Zahlen.
Schritt 4: Nun musst du die zweite Ziffer des Dividenden nach unten ziehen und neben das Ergebnis der Subtraktion aus Schritt 3 schreiben.
Schritt 5: Jetzt überlegst du, wie oft die 3, dein Divisor, in diese Zahl passt. In diesem Fall passt die 3 genau 1 Mal in die 3. Deswegen fügst du eine 1 zu dem Ergebnis hinzu.
Schritt 6: Multipliziere diese Zahl nun wieder mit dem Divisor. Hier musst du also 3 x 1 rechnen. Das ergibt 3. Diese Zahl schreibst du unter die untere 3.
Schritt 7: Nun musst du die beiden Zahlen wieder subtrahieren und die nächste Zahl herunterziehen. Da 3 – 3 null ergibt, schreibst du diese unter die beiden 3en und schreibst dann die 6 von oben daneben.
Schritt 8: Überlege jetzt wieder, wie oft dein Divisor, also die 3, in diese Zahl passt. Da die 3 zweimal in die 6 passt, schreibst du eine 2 zu dem Ergebnis.
Schritt 9: Für die letzte Multiplikation rechnest du 2 x 3. Auch dieses Ergebnis schreibst du wieder nach unten. Danach subtrahierst du die beiden unteren Zahlen. Da es in diesem Fall null ergibt und es keine weitere Stelle bei dem Dividenden gibt, bist du mit der Berechnung fertig.
Jetzt bist du dran: Hast du die schriftliche Division verstanden? Dann nimm dir ein Blatt zur Hand und versuche, die folgende Aufgabe selbst auszurechnen. Danach kannst du dein Ergebnis hier überprüfen:
A) 122 B) 126 C) 116 D) 136 F) 124
B) 126
Der Zusammenhang zwischen dem Quotienten und Bruchrechnung
Oft tritt der Begriff “Quotient” zusammen mit der Bruchrechnung auf. Dies liegt daran, dass es sich bei einem Bruch
um eine Division handelt, dessen Ergebnis ein Quotient ist.
So kannst du jede Division auch als Bruch schreiben:
Damit du den Zusammenhang besser verstehst, haben wir hier ein Beispiel für dich:
Vier Mädchen wollen sich zwei Kuchen teilen. Wie viel bekommt jedes Mädchen, wenn die Kuchen gerecht aufgeteilt werden?
Um eine gerechte Aufteilung auszurechnen, rechnest du 2 : 4, denn 2 Kuchen müssen auf 4 Personen aufgeteilt werden. Daraus entsteht der Bruch 2/4. Diesen kannst du auf ½ kürzen. Also würde jedes Mädchen einen halben Kuchen bekommen.
Ist 0 ein Quotient?
Auch 0 kann das
Ergebnis einer Division und somit ein Quotient sein.
Dies ist immer dann der Fall, wenn der Dividend 0 ist. Denn das Teilen einer Zahl durch 0 ergibt immer 0.
Damit du das besser verstehst, kannst du dir dieses Beispiel anschauen:
Vier Jungs wollen sich Plätzchen teilen, doch leider sind keine mehr übrig.
Die Rechnung für dieses Fallbeispiel wäre:
4 : 0 = 0
Natürlich ist das Ergebnis 0, da es nichts mehr gibt, was die vier Jungs untereinander aufteilen
können.
Teste dein Quotienten Wissen!
Jetzt hast du schon einiges über den Quotienten gelernt. Bist du bereit, dein Wissen zu testen?
Results
#1. Was ist der Quotient aus 36 und 6?
#2. Ist 0 ein Quotient?
#3. Was ist ein "Quotient"?
Das Ergebnis einer Multiplikation
Das Ergebnis einer MultiplikationDas Ergebnis einer Division
Das Ergebnis einer DivisionDas Ergebnis einer Addition
Das Ergebnis einer AdditionDas Ergebnis einer Subtraktion
Das Ergebnis einer SubtraktionWas ist der Wert des Quotienten?
Der Dividend durch den Divisor ergibt den Wert des Quotienten.
Ist 0 ein Quotient?
Ja, 0 ist der Quotient, wenn der Divisor 0 ist.
Ist ein Bruch eine Division?
Ja, bei dem Bruchstrich handelt es sich um ein Divisionszeichen. Du dividierst bei einem Bruch den Zähler (Dividend) durch den Nenner (Divisor).