Kreis achtelnAnleitungBasiswissenEinen Kreis zu achteln heißt, ihn in acht gleich große Stücke zu teilen. Hier wird kurz erklärt, was das meint und wie man es praktisch ausführen kann. Was meint achteln?◦ Achteln meint, dass man etwas in acht gleich große Stücke teilt. ◦ Wenn man einen Kreis achtelt, hat man acht gleich große Stücke. ◦ Die Form der Stücke ist dabei egal. Wie kann man einen Kreis achteln?◦ Die einfachste Methode geht über mehrfaches Halbieren: ◦ Teile den Kreis am Anfang in zwei gleich große Stücke. ◦ (Etwas in zwei gleich große Stücke teilen heißt halbieren.) ◦ Jetzt hast du zwei Hälften. Halbiere jede Hälfte noch einmal. ◦ Dann hast du vier gleich große Stücke. Man nennt sie Viertel. ◦ Jetzt halbiere jedes der vier Viertel noch einmal. ◦ Dann hast du acht gleich große Stücke vom Kreis. ◦ Jedes Stück nennt man ein Achtel. Was kann man über diese Achtelstücke sagen?◦ Jetzt hat man acht Achtel von dem Kreis. ◦ Die Form eines Stückes könnte man "tortenstückartig" nennen. ◦ Den gebogenen Rand des Stückes nennt man => Kreisbogen ◦ In der Mathematik heißt diese Form => Kreisausschnitt Müssen die Achten tortstückartig aussehen?◦ Nein. Wichtig ist nur, dass sie alle gleich große Flächeninhalte haben. ◦ Jedes Achtel könnte theoretisch auch anders aussehen. ◦ In der Schulmathematik sind die Tortenstücke aber üblich.  Show
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1. Wie man einen Kreis mit einem Winkelmesser in 6 Teile teilt Einen Kreis mit einem Winkelmesser zu teilen ist sehr einfach. Wir zeichnen eine Linie, die den Mittelpunkt und einen beliebigen Punkt (z. B. Punkt 1) auf dem Kreis verbindet. Von dieser Linie nehmen wir mit einem Winkelmesser einen Winkel von 60, 120, 180 Grad beiseite. Wir setzen Punkte auf den Kreis (z. B. Punkte 2, 3, 4). Wir entfalten den Winkelmesser und teilen den anderen Teil des Kreises auf die gleiche Weise. 2. Wie man einen Kreis mit einem Zirkel in 6 Teile teilt Es kommt vor, dass kein Winkelmesser zur Hand ist. Dann kann der Kreis mit einem Zirkel in 6 gleiche Teile geteilt werden. Wir zeichnen zum Beispiel einen Kreis mit einem Radius von 5 cm (roter Kreis). Ohne den Radius zu ändern, übertragen wir das Kompassbein auf den Kreis (Punkt 1) und zeichnen einen weiteren Kreis. Wir erhalten zwei Schnittpunkte der schwarzen und roten Kreise 6 und 2. Wir bewegen das Kompassbein zu Punkt 2 und zeichnen erneut einen Kreis. Wir bekommen Punkt 3. Bewegen Sie das Kompassbein zu Punkt 3. Zeichnen Sie erneut einen Kreis. So teilen wir den Kreis weiter, bis wir ihn in 6 gleiche Teile teilen. Einen Kreis in gleiche Teile teilen, regelmäßige Polygone bilden Einen Kreis in 4 und 8 gleiche Teile teilen Enden mit zueinander senkrechten DurchmessernACundBD(Abb. 1) Teilen Sie den Kreis in der Mitte des PunktesÖin 4 gleiche Teile. Indem Sie die Enden dieser Durchmesser verbinden, erhalten Sie ein QuadratEINSonneD. Wenn der WinkelSOAzwischen zueinander senkrechten DurchmessernAEundMitG(Abb. 2) in zwei Hälften teilen und zueinander senkrechte Durchmesser zeichnenDHundbf, dann teilen ihre Enden den Kreis, der an dem Punkt zentriert istÖin 8 gleiche Teile. Durch Verbinden der Enden dieser Durchmesser erhalten Sie ein regelmäßiges AchteckA B C D E F G H. Reis. 1 Abb. 2 Teilung eines Kreises in 3, 6 und 12 Teile Um einen Kreis in 6 gleiche Teile zu teilen, verwenden Sie die Gleichheit der Seiten eines regelmäßigen Sechsecks mit dem Radius des umschriebenen Kreises. Gegeben ist ein Kreis, der an einem Punkt zentriert istÖ(Abb. 3) und RadiusR, dann von den Enden eines seiner Durchmesser (PunkteSONDERNundD), zeichnen Sie von den Mittelpunkten aus Kreisbögen mit einem RadiusR. Die Schnittpunkte dieser Bögen mit einem gegebenen Kreis teilen ihn in 6 gleiche Teile. Wenn Sie die gefundenen Punkte konsequent verbinden, erhalten Sie das richtige SechseckABCDEF. Wenn der Kreis mit einem Punkt in der Mitte istÖ(Abb. 4) muss in 3 gleiche Teile geteilt werden, dann sollte mit einem Radius, der dem Radius dieses Kreises entspricht, ein Bogen nur von einem Ende des Durchmessers gezogen werden, beispielsweise einem PunktD. PunkteBEIMundMitSchnittpunkt dieses Bogens mit einem gegebenen Kreis sowie einem PunktSONDERNTeilen Sie diese in 3 gleiche Teile. Indem man die Punkte verbindetSONDERN, BEIMundMit, können Sie ein gleichseitiges Dreieck erhaltenABC. Reis. 3 Abb. 4 Um den Kreis in 12 Teile zu teilen, wird die Teilung des Kreises in 6 Teile zweimal wiederholt (Abb. 5), wobei die Enden der zueinander senkrechten Durchmesser als Mittelpunkte verwendet werden: PunkteSONDERNundG, DundJ. Die Schnittpunkte der gezeichneten Bögen mit einem bestimmten Kreis teilen ihn in 12 Teile. Indem Sie die konstruierten Punkte verbinden, erhalten Sie das richtige Zwölfeck. Reis. 5 Teilung eines Kreises in 5 Teile Ö(Abb. 6) in 5 Teile, gehen Sie wie folgt vor. Zum Beispiel einer der Radien des KreisesOm, halbiert durch das zuvor beschriebene Verfahren. Aus der Mitte des SegmentsOmPunktNRadiusR1 , gleich dem SegmentSONDERNN, zeichnen Sie einen Kreisbogen und markieren Sie einen PunktRSchnittpunkt dieses Bogens mit dem Durchmesser, zu dem der Radius gehörtOm. LiniensegmentARgleich der Seite eines regelmäßigen Fünfecks, das in einen Kreis eingeschrieben ist. Also vom EndeSONDERNDurchmesser senkrecht zuOm, RadiusR2 , gleich dem SegmentAR, zeichne einen Kreisbogen. PunkteBEIMundESchnittpunkte dieses Bogens mit einem gegebenen Kreis ermöglichen es, zwei Eckpunkte des Fünfecks zu markieren. Noch zwei SpitzenMitundD) sind die Schnittpunkte von Kreisbögen mit RadiusR2 an Punkten zentriertBEIMundEmit einem gegebenen Kreis, der an Punkten zentriert istÖ. Ecken eines regelmäßigen FünfecksABCDETeilen Sie den gegebenen Kreis in 5 gleiche Teile. Reis. 6 Teilung eines Kreises in 7 Teile Um einen Kreis zu teilen, der an einem Punkt zentriert istÖ(Abb. 6) in 7 Teile, muss ein Hilfsbogen von Punkt 1 mit einem Radius gezeichnet werdenR, gleich dem Radius des gegebenen Kreises, der den Kreis im Punkt schneidetM. Von einem PunktNIch senke die Senkrechte zur horizontalen Mittellinie. Von einem PunktSONDERNmit einem Radius gleich dem RadiusMN, machen Sie 7 Serifen um den Kreis und erhalten Sie sieben gewünschte Punkte, die verbunden werden und ein regelmäßiges Siebeneck erhaltenABCDEFG. Reis. 7 Einen Kreis in beliebig viele gleiche Teile teilen Wenn keine der zuvor betrachteten Optionen die Bedingung der Aufgabe erfüllt, wird eine Technik verwendet, mit der Sie den Kreis in eine beliebige Anzahl gleicher Teile teilen und die darin eingeschriebenen regelmäßigen Polygone mit einer beliebigen Anzahl von Seiten konstruieren können. Betrachten Sie eine solche Konstruktion am Beispiel der Teilung eines Kreises, der an einem Punkt zentriert istÖ(Abb. 8a) in 7 gleiche Teile. Zuerst müssen Sie zwei senkrecht zueinander stehende Durchmesser zeichnen, von denen einer beispielsweise durch einen Punkt verläuftSONDERN, sollte in 7 gleiche Teile geteilt werden, begrenzt durch die Punkte 1 ... 7. Von einem PunktSONDERN, wie von der Mitte, RadiusRgleich dem Durchmesser eines bestimmten Kreises ist es notwendig, einen Bogen zu zeichnen, dessen Schnittpunkt mit der Fortsetzung des zweiten Durchmessers die Punkte bestimmtR1 undR2 . Dann durch die PunkteR1 undR2 (Abb. 8b) und gerade Punkte, die durch Teilen des Durchmessers erhalten werdenA7(Punkte 2, 4 und 6), gerade Linien zeichnen. PunkteBEIM, Mit, DundE, F, GSchnittpunkt dieser Linien mit einem gegebenen Kreis und einem PunktSONDERNTeile den Kreis mit der MitteÖin 7 gleiche Teile. Wenn Sie die konstruierten Punkte konsequent verbinden, können Sie ein regelmäßiges Siebeneck zeichnen, das in einen Kreis eingeschrieben ist. Reis. acht Teilen eines Kreises in vier gleiche Teile und Konstruieren eines regelmäßig einbeschriebenen Vierecks(Abb. 6). Zwei senkrecht zueinander stehende Mittellinien teilen den Kreis in vier gleiche Teile. Indem man die Schnittpunkte dieser Linien mit dem Kreis mit geraden Linien verbindet, erhält man ein regelmäßig einbeschriebenes Viereck. Teilen eines Kreises in acht gleiche Teile und Konstruieren eines regelmäßig beschrifteten Achtecks(Abb. 7). Die Teilung des Kreises in acht gleiche Teile erfolgt mit einem Zirkel wie folgt. Von den Punkten 1 und 3 (den Schnittpunkten der Mittellinien mit dem Kreis) mit einem beliebigen Radius R werden Bögen zum gegenseitigen Schnittpunkt gezeichnet, mit dem gleichen Radius von Punkt 5 wird eine Kerbe auf dem von Punkt 3 gezeichneten Bogen angebracht . Durch die Schnittpunkte der Serifen und den Mittelpunkt des Kreises werden gerade Linien gezogen, bis sie den Kreis an den Punkten 2, 4, 6, 8 schneiden. Wenn die erhaltenen acht Punkte durch gerade Linien in Reihe verbunden werden, wird ein regelmäßig einbeschriebenes Achteck erhalten. Teilen eines Kreises in drei gleiche Teile und Konstruieren eines regelmäßig einbeschriebenen Dreiecks(Abb. 8). Variante 1. Wenn Sie den Kreis mit einem Kompass von einem beliebigen Punkt auf dem Kreis, z. B. Punkt A des Schnittpunkts der Mittellinien mit dem Kreis, in drei gleiche Teile teilen, zeichnen Sie einen Bogen mit einem Radius R, der dem Radius des Kreises entspricht Punkte 2 und 3. Der dritte Teilungspunkt (Punkt 1) befindet sich am gegenüberliegenden Ende des Durchmessers und verläuft durch Punkt A. Durch aufeinanderfolgendes Verbinden der Punkte 1, 2 und 3 wird ein regelmäßig einbeschriebenes Dreieck erhalten. Option 2. Wenn beim Konstruieren eines regelmäßig einbeschriebenen Dreiecks einer seiner Eckpunkte angegeben ist, beispielsweise Punkt 1, wird Punkt A gefunden.Dazu wird ein Durchmesser durch einen bestimmten Punkt gezogen (Abb. 8). Punkt A befindet sich am gegenüberliegenden Ende dieses Durchmessers. Dann wird ein Bogen mit einem Radius R gezeichnet, der gleich dem Radius des gegebenen Kreises ist, die Punkte 2 und 3 werden erhalten. Einen Kreis in sechs gleiche Teile teilen und ein regelmäßig einbeschriebenes Sechseck konstruieren(Abb. 9). Wenn Sie den Kreis mit einem Kompass von zwei Enden desselben Durchmessers mit einem Radius gleich dem Radius des angegebenen Kreises in sechs gleiche Teile teilen, werden Bögen gezeichnet, bis sie sich mit dem Kreis an den Punkten 2, 6 und 3, 5 schneiden. Verbinden die nacheinander erhaltenen Punkte ergeben ein regelmäßig einbeschriebenes Sechseck. Teilen eines Kreises in zwölf gleiche Teile und Konstruieren eines regelmäßig beschrifteten Zwölfecks(Abb. 10). Beim Teilen eines Kreises mit einem Kompass von den vier Enden zweier zueinander senkrechter Durchmesser des Kreises wird ein Bogen mit einem Radius gezeichnet, der dem Radius des angegebenen Kreises entspricht, bis er sich mit dem Kreis schneidet (Abb. 10). Durch Verbinden der nacheinander erhaltenen Schnittpunkte erhält man ein regelmäßig einbeschriebenes Zwölfeck. Teilen eines Kreises in fünf gleiche Teile und Konstruieren eines regelmäßig einbeschriebenen Fünfecks ( Abb.11). Wenn Sie einen Kreis mit einem Kompass teilen, wird die Hälfte eines beliebigen Durchmessers (Radius) in zwei Hälften geteilt, Sie erhalten Punkt A. Von Punkt A aus wird vom Mittelpunkt aus ein Bogen mit einem Radius gezeichnet, der dem Abstand von Punkt A zu Punkt entspricht 1, bis es sich mit der zweiten Hälfte dieses Durchmessers im Punkt B schneidet. Das Segment 1B ist gleich der Sehne, die den Bogen begrenzt, dessen Länge 1/5 des Umfangs entspricht. Wenn Sie Serifen auf einem Kreis mit einem Radius R1 gleich dem Segment 1B machen, wird der Kreis in fünf gleiche Teile geteilt. Der Startpunkt A wird abhängig von der Lage des Fünfecks gewählt. Die Punkte 2 und 5 werden von Punkt 1 aus gebaut, dann wird Punkt 3 von Punkt 2 aus gebaut und Punkt 4 wird von Punkt 5 aus gebaut. Die Entfernung von Punkt 3 zu Punkt 4 wird mit einem Kompass überprüft; Wenn der Abstand zwischen den Punkten 3 und 4 gleich dem Segment 1B ist, wurden die Konstruktionen genau ausgeführt. Es ist unmöglich, Serifen nacheinander in eine Richtung auszuführen, da sich Messfehler ansammeln und sich die letzte Seite des Fünfecks als schief herausstellt. Durch konsequentes Verbinden der gefundenen Punkte erhält man ein regelmäßig einbeschriebenes Fünfeck. Teilen eines Kreises in zehn gleiche Teile und Konstruieren eines regelmäßig beschrifteten Zehnecks(Abb. 12). Die Teilung des Kreises in zehn gleiche Teile erfolgt ähnlich wie die Teilung des Kreises in fünf gleiche Teile (Abb. 11), aber zuerst wird der Kreis in fünf gleiche Teile geteilt, beginnend bei Punkt 1 und dann bei Punkt 6, befindet sich am gegenüberliegenden Ende des Durchmessers. Indem alle Punkte in Reihe geschaltet werden, erhält man ein regelmäßig einbeschriebenes Zehneck. Teilen eines Kreises in sieben gleiche Teile und Konstruieren eines regelmäßig beschrifteten Siebenecks(Abb. 13). Von jedem Punkt des Kreises, zum Beispiel Punkt A, wird ein Bogen mit einem Radius eines gegebenen Kreises gezeichnet, bis er einen Kreis an den Punkten B und D einer geraden Linie schneidet. Die Hälfte des resultierenden Segments (in diesem Fall Segment BC) entspricht der Sehne, die den Bogen überspannt, was 1/7 des Umfangs entspricht. Mit einem Radius gleich dem Segment BC werden Serifen auf dem Kreis in der gezeigten Reihenfolge erstellt, wenn ein regelmäßiges Fünfeck konstruiert wird. Indem alle Punkte in Reihe geschaltet werden, erhält man ein regelmäßig einbeschriebenes Siebeneck. Teilen des Kreises in vierzehn gleiche Teile und Konstruieren eines regelmäßig einbeschriebenen Vierzehnwinkels (Abb. 14). Die Teilung des Kreises in vierzehn gleiche Teile erfolgt ähnlich wie die Teilung des Kreises in sieben gleiche Teile (Abb. 13), aber zuerst wird der Kreis in sieben gleiche Teile geteilt, beginnend bei Punkt 1 und dann bei Punkt 8, befindet sich am gegenüberliegenden Ende des Durchmessers. Indem alle Punkte in Reihe geschaltet werden, erhalten sie ein regelmäßig einbeschriebenes Viereck. Mit Hilfe von Zirkel und Lineal ist es möglich, einen Kreis in mehr als beliebig viele Teile zu teilen. Mathematiker haben bewiesen, dass es möglich ist, in 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, ..., 257, ... Teile zu unterteilen, aber nicht in 7, 9, 11, 13, 14, ... Teile . Leider gibt es keinen einzigen Weg, um zu teilen. Werfen wir einen Blick auf die wichtigsten. 1) Teilung des Kreises in 6, 3, 12, 24, …, 3×2 k (k=0,1,2,3,…) gleiche Teile. Beginnen mit Teilt den Kreis in 6 Teile. Dazu muss mit der gleichen Lösung des Zirkels, mit der der Kreis gezeichnet wurde, von jedem Punkt des Kreises wie von der Mitte aus ein Kreis gezeichnet werden. Wiederholen Sie dann den Vorgang und nehmen Sie als Mittelpunkt den Schnittpunkt des ursprünglichen und des neuen Kreises. Um einen Kreis in 3 Teile zu teilen, müssen Sie ihn in 6 Teile teilen und Punkte durch einen nehmen (Abb. 5a). Um einen Kreis in 12 Teile zu teilen, müssen Sie ihn in 6 Teile teilen und jeden Bogen in zwei Hälften teilen, dann kann der Vorgang des Teilens der Bögen in zwei Hälften unbegrenzt fortgesetzt werden. Die Länge der Senkrechten, die von der Mitte des Kreises zur Seite des Sechsecks fällt, ist eine gute Näherung für die Länge der Seite des Siebenecks, die in den Kreis einbeschrieben ist (in Abbildung 5a schraffiert dargestellt). Senkrechte Länge ≈0,866R, Seitenlänge des Siebenecks ≈0,868R – Genauigkeit ≈2%. 2) Teilung des Kreises in 2, 4, 8, 16,…, 2 k (k=1,2,3,…) gleiche Teile. Sie können den Kreis mit einem Lineal in zwei Teile teilen, indem Sie eine gerade Linie durch die Mitte des Kreises ziehen. Es ist jedoch möglich, den Radius des Kreises von jedem Punkt des Kreises aus 3-mal zu verschieben. Anfangs- und Endpunkt halbieren den Kreis (durch sie kann ein Durchmesser gezogen werden - Abb. 5a). Um den Kreis in 4 Teile zu teilen, müssen die resultierenden Bögen halbiert werden. Konsequente Ausführung der Teilung der resultierenden Bögen in zwei Hälften sorgt für die Teilung des Kreises in 8, 16 usw. Teile. 3) Teilung des Kreises in 5 Teile. Die beim Zeichnen verwendete Konstruktionsmethode verwendet das Verhältnis zwischen der Seite eines regelmäßigen Zehnecks ( eine 10) und ein regelmäßiges Fünfeck ( eine 5)- a 5 2 = R 2 + a 10 2 . Der Aufbau erfolgt wie folgt. Lassen Sie uns 2 senkrechte Linien durch den Mittelpunkt des Kreises O ziehen. A und B sind die Punkte ihrer Schnittpunkte mit dem Kreis. Von Punkt A aus zeichnen wir wie von der Mitte aus einen Kreis mit demselben Radius (wir finden die Mitte des Segments AO - Punkt C). Aus der Mitte des Segments AO des Punktes C zeichnen wir einen weiteren Kreis mit dem Radius CB. Das Segment BE ist gleich der Seite des Fünfecks, OE ist gleich dem Zehneck (Abb. 5b). Sie können den Kreis wie in Abbildung 5c gezeigt in 5 und 10 Teile teilen. Segment BC ist die Seite des Fünfecks, AC ist die Seite des Zehnecks. Über die bemerkenswerten Eigenschaften des Fünfecks und Zehnecks und warum die in Abbildung 5c gezeigte Konstruktionsmethode richtig ist, werden wir im nächsten Kapitel erzählen. Medresse Kukeldash (XVI Jahrhundert, Taschkent) Abbildung 5d demonstriert den Empfang einer ungefähren geometrischen Lösung für das Problem, einen Kreis in eine beliebige Anzahl von Teilen zu teilen. Nehmen wir zum Beispiel an, es ist erforderlich, den gegebenen Kreis in 7 gleiche Teile zu teilen. Wir konstruieren ein gleichseitiges Dreieck ABC auf dem Durchmesser des Kreises AB und teilen den Durchmesser AB durch den Punkt D im Verhältnis AD:AB=2:7 (allgemein 2:n). Dazu müssen Sie eine Hilfslinie zeichnen, n + 2 identische Segmente darauf legen, den äußersten Punkt mit Punkt B verbinden und eine Linie parallel zur Linie BF durch den zweiten Punkt ziehen. Zeichnen Sie eine Linie DC zum Schnittpunkt mit dem Kreis. Der Bogen AE ist der 7. Teil des Kreises (im allgemeinen der n.). Diese Methode für n<11 дает погрешность не более 1%. Algorithmen zum Teilen eines Kreises in gleiche Teile können beispielsweise verwendet werden, um Referenzpunkte für Spiralen zu konstruieren - die Archimedes-Spirale, benannt nach dem großen antiken griechischen Wissenschaftler Archimedes (III. Jahrhundert v. Chr.), der diese Linie zuerst untersuchte, und die logarithmische Spirale . Wie teile ich einen Kreis in gleiche Teile?Markieren Sie auf dem Kreisrand zunächst vier beliebige Punkte und verbinden Sie jeweils zwei davon. An jeder dieser zwei entstandenen Geraden (Sekanten) legen Sie im rechten Winkel das Geodreieck an und zeichnen eine Linie. Dort, wo sich die beiden entstandenen Linien schneiden, befindet sich der Kreismittelpunkt.
Wie teile ich einen Kreis in 9 gleiche Teile?◦ Am einfachsten ist das wiederholte Dritteln: ◦ Man teilt den Kreis erst in drei gleich große Stücke auf. ◦ Dann drittelt man jedes dieser Stücke noch einmal. ◦ Am Ende hat man 9 gleich große Stücke.
Wie teilt man einen Kreis in 6 gleich große Teile?◦ Man stellt den Zirkel genau auf den Kreisradius ein. ◦ Der Radius ist die Strecke von der Kreismitte bis zum Kreisrand. ◦ Dann sticht man mit dem Zirkel irgendwo auf den Kreisrand. ◦ Man markiert dann in beide Richtung neue Stellen auf dem Kreisrand.
Wie unterteilt man einen Kreis?Ein Kreis wird in eine bestimmte Anzahl an Sektoren (Tortenstücke) aufgeteilt. Je nach Anzahl haben diese Sektoren einen bestimmten Winkel. Diesen kann man hier berechnen. Beispiel: ein in drei Teile geteilter Kreis, die Teile haben Winkel von 120° oder 2/3 π.
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Kreis in 12 gleiche teile teilen zirkel
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