Der arctan ist die Umkehrfunktion des Tangens im Intervall ]-pi/2,pi/2[. Das ist eigentlich schon die ganze Beschreibung. Vermutlich haben Sie diese aber nicht nachvollziehen können. Es steckt eine spezielle Problematik dahinter, die aber leicht zu veranschaulichen ist. Damit Sie nachvollziehen können, was der arctan ist, sollten Sie sich ganz allgemein mit
Umkehrfunktionen vertraut machen. Gibt es eigentlich einen Unterschied zwischen dem Begriff "Steigung" und dem Steigungswinkel? In …Was eine Umkehrfunktion ist
Arctan als Umkehrung der Tangensfunktion
- Die Funktion f(x) = tan x wiederholt sich periodisch. Im Intervall ]- pi/2,pi/2[ gibt es keine Wiederholungen des Funktionswertes. Ebenso im Intervall ]pi/2,3/2 pi[ etc., wenn Sie wie üblich im Bogenmaß rechnen. Sollten Sie in Grad rechnen, wäre das Intervall ]-90°,90°[.
- Innerhalb des Intervalls ]- pi/2,pi/2[ können Sie also die Variablen vertauschen und wieder nach y auflösen. Sie bekommen x = tan y. Nun haben Sie ein ähnliches Problem wie bei der quadratischen Funktionsgleichung. Sie brauchen eine neue Rechenanweisung. Diese heißt arctan; arctan gibt an, zu welchem Winkel ein konkreter Zahlenwert gehört. Beispiel: tan x = 5 => arctan 5 = 0,43 pi. Wenn also der Winkel 0,43 pi beträgt, dann ist der tan davon 5.
Verdeutlichung über den Einheitskreis
- Stellen Sie sich den Winkel alpha so vor, dass es der Winkel ist, den der Zeiger z gegen den Uhrzeigersinn überstreicht. Der tan alpha ist Gegenkathete durch Ankathete. Die Ankathete ist - wie Sie sehen können - 1. Also entspricht der tan alpha der Länge der Gegenkathete. Sobald der Zeiger über pi/2 hinaus dreht, wird die Gegenkathete wieder kürzer und nimmt folglich wieder Werte an, die sie im Bereich zwischen 0 und pi/2 schon mal angenommen hatte. Daher dürfen Sie für die Bildung der Umkehrfunktion den Bereich nach pi/2 nicht mehr nehmen. Wenn der Zeiger im Uhrzeigersinn dreht, werden Sie zu dem Winkel -pi/2 als Grenze kommen.
- Der arctan bedeutet, dass Ihnen die Länge der Gegenkathete (blaue Skizze) bekannt ist und Sie den zugehörigen Winkel finden müssen. Verbinden Sie das Ende der Gegenkathete mit dem Mittepunkt des Kreises. Nun sehen Sie, welcher Winkel alpha zu der gegebenen Gegenkathete gehört.
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