Alle normen sind gleich

Von Interesse ist insbesondere die Äquivalenz von Normen. Nach Definition der Äquivalenz zweier Normen soll gelten, dass: $c||v|| \leq ||v||' \leq C||v||$ für alle $v \in \mathbb{R}^2$. Zu gegebenen festen Faktoren $c,C \gt 0 $ zeichnen wir noch die folgenden Kreise ( in rot-orange und in gelb-orange ):

Inhaltsverzeichnis Show

Was versteht man unter einer Norm?
Kann eine Norm negativ sein?
Hat jeder Vektorraum eine Norm?
Wie berechnet man die Norm?

$$S_1 = \{ v \in \mathbb{R}^2 | \ ||v|| = 1/C \}$$ $$S_2 = \{ v \in \mathbb{R}^2 | \ ||v|| = 1/c \}$$

Eine kleine Überlegung zeigt, dass die Bedingung in der Definition der Äquivalenz genau dann erfüllt ist, wenn $S_1$ vollständig in dem Einheitskreis $S'$ der Norm $||∙||'$ liegt und $S'$ wiederum vollständig in $S_2$.

Wie klein müssen Sie $c$ wählen und wie groß $C$? Probieren Sie es aus!

Die Begriffe in der Auswahl bedeuten für $v \in \mathbb{R}^2$:

$p$-Norm: $||v||_p = \sqrt[p]{|v_1|^p+|v_2|^p}$ mit $p=1,2,3,10$

Maximumsnorm: $||v||_{max} = max\{|v_1|,|v_2|\}$

Diese Animation wurde von Vincenz Busch im Rahmen eines Projekts zur Verbesserung der Lehre im Lehrlabor des Universitätskollegs der Universität Hamburg erarbeitet. Hamburg, Januar 2013. (überarbeitet Mai 2016)

Dieses Vorhaben wird innerhalb des gemeinsamen Bund-Länder-Programms für bessere Studienbedingungen und mehr Qualität in der Lehre aus Mitteln des Bundesministerium für Bildung und Forschung unter dem Förderkennzeichen 01PL12033 gefördert. Die Verantwortung für den Inhalt dieser Veröffentlichung liegt bei den Autor/-innen.

Als äquivalente Normen bezeichnet man in der Mathematik ein Paar von abstrahierten Abstandsbegriffen, sogenannten Normen, die identische Konvergenzbegriffe erzeugen. Etwas detaillierter unterscheidet man in stärkere Normen (synonym auch feinere Normen genannt) und schwächere Normen (synonym auch gröbere Normen genannt) und nennt zwei Normen äquivalent, wenn sie sowohl stärker als auch schwächer als ihr Konterpart sind.

Gegeben sei ein Vektorraum X{\displaystyle X}

über K{\displaystyle \mathbb {K} }

(in den meisten Fällen K=R{\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} }

oder K=C{\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {C} }

), auf dem zwei Normen ‖⋅‖1{\displaystyle \|\cdot \|_{1}}

und ‖⋅‖2{\displaystyle \|\cdot \|_{2}}

definiert sind.

Dann heißt, ‖⋅‖2{\displaystyle \|\cdot \|_{2}} stärker oder feiner als ‖⋅‖1{\displaystyle \|\cdot \|_{1}}, wenn eine positive Zahl C{\displaystyle C}

existiert, sodass

‖x‖1≤C⋅‖x‖2 für alle x∈X{\displaystyle \|x\|_{1}\leq C\cdot \|x\|_{2}{\text{ für alle }}x\in X}

ist. Entsprechend wird dann auch ‖⋅‖1{\displaystyle \|\cdot \|_{1}} schwächer oder gröber als ‖⋅‖2{\displaystyle \|\cdot \|_{2}} genannt.

Die Normen ‖⋅‖1{\displaystyle \|\cdot \|_{1}} und ‖⋅‖2{\displaystyle \|\cdot \|_{2}} heißen äquivalent, wenn es positive Zahlen c,C{\displaystyle c,C}

gibt, sodass

c⋅‖x‖2≤‖x‖1≤C⋅‖x‖2 für alle x∈X{\displaystyle c\cdot \|x\|_{2}\leq \|x\|_{1}\leq C\cdot \|x\|_{2}{\text{ für alle }}x\in X}

gilt. Zwei Normen sind somit äquivalent, wenn ‖⋅‖1{\displaystyle \|\cdot \|_{1}} stärker ist als ‖⋅‖2{\displaystyle \|\cdot \|_{2}} und ‖⋅‖2{\displaystyle \|\cdot \|_{2}} stärker ist als ‖⋅‖1{\displaystyle \|\cdot \|_{1}}.

Gegeben sei der Rn{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}

, versehen mit der Maximumsnorm und der Summennorm

‖x‖∞:=max1≤i≤n|xi| sowie ‖x‖1:=∑i=1n|xi|{\displaystyle \|x\|_{\infty }:=\max _{1\leq i\leq n}|x_{i}|{\text{ sowie }}\|x\|_{1}:=\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|}.

Dann ist wegen |xi|≤max1≤i≤n|xi|{\displaystyle |x_{i}|\leq \max _{1\leq i\leq n}|x_{i}|}

auch immer

∑i=1n|xi|≤n⋅max1≤i≤n|xi|{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}|x_{i}|\leq n\cdot \max _{1\leq i\leq n}|x_{i}|}.

Somit ist

‖x‖1≤n⋅‖x‖∞{\displaystyle \|x\|_{1}\leq n\cdot \|x\|_{\infty }},

demnach ist die Maximumsnorm stärker als die Summennorm. Umgekehrt ist immer

max1≤i≤n|xi|≤∑i=1n|xi|, also ‖x‖∞≤‖x‖1{\displaystyle \max _{1\leq i\leq n}|x_{i}|\leq \sum _{i=1}^{n}|x_{i}|{\text{, also }}\|x\|_{\infty }\leq \|x\|_{1}},

da der betragsgrößte Eintrag eines Vektors nie größer ist als die Summe der Beträge aller Einträge des Vektors. Somit ist die Summennorm stärker als die Maximumsnorm. Insgesamt gilt dann

‖x‖∞≤‖x‖1≤n⋅‖x‖∞{\displaystyle \|x\|_{\infty }\leq \|x\|_{1}\leq n\cdot \|x\|_{\infty }},

Maximumsnorm und Summennorm im Rn{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} sind also äquivalent. Tatsächlich lässt sich zeigen, dass auf beliebigen endlichdimensionalen Vektorräumen alle Normen äquivalent sind.

Betrachtet man den Vektorraum C([0,1],R){\displaystyle C([0,1],\mathbb {R} )}

der reellwertigen stetigen Funktionen auf dem abgeschlossenen Intervall von null bis eins, so lassen sich zwei Normen definieren:

Einerseits die Supremumsnorm ‖f‖∞:=supx∈[0,1]|f(x)|{\displaystyle \|f\|_{\infty }:=\sup _{x\in [0,1]}|f(x)|}
, die aufgrund der Beschränktheit stetiger Funktionen auf dem kompakten Intervall [0,1]{\displaystyle [0,1]}
wohldefiniert ist.
Andererseits sind stetige Funktionen in diesem Kontext immer messbar und wegen ihrer Beschränktheit im Lp-Raum enthalten. Somit lässt sich auch die L1-Norm

‖f‖L1:=∫[0,1]|f(x)|dλ(x){\displaystyle \|f\|_{L^{1}}:=\int _{[0,1]}|f(x)|\mathrm {d} \lambda (x)}definieren.

Das Integral lässt sich nach oben aber immer durch den größtmöglichen Funktionswert abschätzen, es gilt hier also

Was versteht man unter einer Norm?

Unter dem Begriff Normen werden umgangssprachlich meist Richtlinien verstanden, die sich auf bestimmte Werte beziehen und die Handlungen unter Bezugnahme auf diese gebieten oder verbieten. Normen sind verbindlich aber nicht a priori rechtlich bindend.

Kann eine Norm negativ sein?

Formal ist eine Norm eine Abbildung, die einem Element eines Vektorraums über den reellen oder komplexen Zahlen eine nicht-negative reelle Zahl zuordnet und die drei Eigenschaften Definitheit, absolute Homogenität und Subadditivität besitzt. Eine Norm kann (muss aber nicht) von einem Skalarprodukt abgeleitet werden.

Hat jeder Vektorraum eine Norm?

Metrische und topologische Räume In endlichdimensionalen Vektorräumen sind alle Normen zueinander äquivalent, in unendlichdimensionalen Räumen ist dies jedoch nicht der Fall. Ein topologischer Vektorraum heißt normierbar, wenn seine Topologie von einer Norm erzeugt werden kann.

Wie berechnet man die Norm?

Ein Vektor heißt normiert, wenn er den Betrag 1 hat, also wenn | v → | = 1 . Ein beliebiger Vektor kann normiert werden, indem man ihn mit dem Kehrwert seines Betrages multipliziert. Bildlich gesprochen dividiert man durch die „Länge“ seines Pfeiles.