8 x plus 4 ist gleich minus 2 x

Video-Transkript

Wir haben die Gleichung 3/4x plus 2 gleich 3/8x minus 4. Nun könnten wir einfach loslegen und das so lösen wie sonst auch: wir gruppieren die x Terme auf der linken Seite, und die konstanten Terme auf der rechten Seite. und die konstanten Terme auf der rechten Seite. Aber Addieren und Subtrahieren von Brüchen ist chaotisch. Also, was ich gleich am Anfang dieses Videos machen werde, ist, beide Seiten der Gleichung mit einer Zahl zu multiplizieren, damit ich die Brüche loswerde. Welches ist die kleinste Zahl, die bei der Multiplikation mit diesen beiden Brüchen dafür sorgt, dass es keine Brüche mehr sind, sondern ganze Zahlen? dass es keine Brüche mehr sind, sondern ganze Zahlen? Diese kleinste Zahl wird 8 sein. Diese kleinste Zahl wird 8 sein. Ich werde beide Seiten dieser Gleichung mit 8 multiplizieren. Jetzt wirst du fragen wie ich auf 8 gekommen bin. Ich bin auf 8 gekommen, weil ich danach geschaut habe was das kleinste gemeinsame Vielfache von 4 und 8 ist. Nun, die kleinste Zahl, die durch 4 und 8 teilbar ist ist die 8. Also wenn du mal 8 rechnest kannst du so die Brüche loswerden. Schauen wir mal was passiert. Also 8 mal 3/4, das ist das Gleiche wie 8 mal 3 geteilt durch 4. Lass es mich hier an der Seite aufschreiben. Das ist das gleiche wie 8 mal 3 geteilt durch 4. 8 durch 4 ist 2. Also haben wir 2 mal 3 und das ergibt 6. Somit wird 8 mal 3/4 auf der linken Seite zu 6x. Und 8 mal 2 ist gleich 16. Du musst daran denken, dass du, wenn du beide Seiten oder eine Seite einer Gleichung mit einer Zahl multiplizierst, du jeden einzelnen Term mit dieser Zahl multipilzierst. Das heißt du musst du die 8 ausmultiplizieren. Also haben wir auf der linken Seite 6x plus 16. Das wird gleich 8 mal 3/8 sein. Das ist recht einfach, die Achten kürzen sich weg und du hast nur noch 3x übrig. Und 8 mal minus 4 sind gleich minus 32. Und somit haben wir die Gleichung schon ein ganzes Stück aufgeräumt. Als nächstes versuchen wir die ganzen x-Terme auf die linke Seite zu bringen und die konstanten Terme auf die rechte. Also lass uns dieses 3x von der rechten Seite loswerden. Lass uns dazu 3x von beiden Seiten abziehen. Ich denke das ist die beste Möglichkeit um die 3x von rechts loszuwerden. Auf der linken Seite der Gleichung haben wir also 6x minus 3x ist gleich 3x. Denn 6 minus 3 ist 3. Dann hast du plus 16. Und das ist gleich 3x minus 3x -- das ist der Grund warum wir überhaupt 3x abziehen, nämlich damit wir es wegkürzen können. Diese beiden kürzen sich also gegenseitig weg und wir haben nur noch minus 32 übrig. Jetzt lass uns die 16 von der linken Seite loswerden. Dazu ziehen wir 16 von beiden Seiten der Gleichung ab. Von beiden Seiten 16 abziehen. Die linke Seite der Gleichung wird somit zu 3x. Die 16en kürzen sich weg, also musst du dort nichts hinschreiben. Und das ist gleich minus 32 minus 16, also minus 48. Also haben wir 3x ist gleich minus 48. Um das x zu isolieren, können wir einfach beide Seiten der Gleichung durch 3 teilen. Also lass uns beide Seiten der Gleichung durch 3 teilen. Die linke Seite der Gleichung, 3x geteilt durch 3 ist einfach ein x. Das war der springende Punkt, warum wir beide Seiten durch 3 geteilt haben. Und die rechte Seite, minus 48 geteilt durch 3 ist minus 16. Und wir sind fertig. X ist gleich minus 16 ist unsere Lösung. Lass uns noch überprüfen, ob das auch tatsächlich funktioniert, indem wir es in die ursprüngliche Gleichung einsetzen. Die ursprüngliche Gleichung hatte allerdings nicht diese Achten davor stehen. Also lass es uns nur in die ursprüngliche Gleichung einsetzen. Wir bekommen 3/4 mal minus 16 plus 2. Und das muss gleich 3/8 mal minus 16 minus 4 sein. 3/4 von 16 sind 12. Und du kannst es dir so vorstellen: Was ist 16 geteilt durch 4? Es ist 4. Und dann multiplizierst du das mit 3, das ergibt 12. Das ist Bruchmultiplikation. Somit wird das minus 12 sein. Also haben wir minus 12 plus 2 auf der linken Seite. Minus 12 plus 2 ist gleich minus 10. Also haben wir auf der linken Seite minus 10. Mal sehen, was auf der rechten Seite steht. Du hast 3/8 mal minus 16. Wenn du minus 16 durch 8 teilst, bekommst du minus 2. Das mal 3 ergibt minus 6. Also haben wir minus 6 minus 4. Minus 6 minus 4 ist minus 10. Also wenn x gleich minus 16 ist, erfüllt es die ursprüngliche Gleichung. Beide Seiten der Gleichung werden zu minus 10. Und wir sind fertig.

Geschrieben von: Dennis Rudolph
Donnerstag, 08. April 2021 um 17:14 Uhr

Wie kann man Terme berechnen bzw. Gleichungen mit Termen umstellen (nach x zum Beispiel)? Dies sehen wir uns an:

• Eine Erklärung, wie man mit Termen und Gleichungen rechnet.
• Viele Beispiele auch zum Umstellen von Gleichungen aus Termen.
• Aufgaben / Übungen damit ihr dies selbst üben könnt.
• Videos zum Umgang mit diesem Thema.
• Ein Frage- und Antwortbereich zu dieses Gebiet.

Ein kleiner Tipp am Anfang: Wer noch nicht weiß was ein Term ist kann dies unter Term: Definition und Beispiele nachlesen.

Erklärung Terme auflösen und umstellen

Damit es bei euch im Kopf keinen zu großes Durcheinander gibt: Terme kann man zunächst einmal zusammenfassen. Dies kann man tun, wenn die Terme gleiche Variablen beinhalten. Die nächsten drei Zeilen zeigen dies:

Wer noch mehr Beispiele zur Zusammenfassung von Termen braucht findet dies unter Terme vereinfachen.

Ganz wichtig: Ein Term beinhaltet keine Relationszeichen. Relationszeichen sind größer (>), kleiner (<), gleich (=) und einige andere. Mit anderen Worten: x ist ein Term, 3x ist ein Term, 6a ist ein Term und so weiter. Eine ganze Zeile aus den Beispielen wie x + x + x = 3x ist kein Term, sondern eine Gleichung, denn hier gibt es ein "=".

Man kann also Terme miteinander vergleichen. In viele Fällen steht ein Istgleich-Zeichen zwischen zwei (oder mehr) Termen. In der Mittelstufe der Schule geht es dabei oft darum Gleichungen aus Termen nach x aufzulösen.

Gleichungen aus Termen nach x auflösen:

Wir kann man Gleichungen nach x auflösen? Dazu fangen wir mit einem einfachen Beispiel an. Berechnet werden soll 8 · 3 + x = 4. Dabei soll x ausgerechnet werden. Wie macht man dies? Dazu erst einmal die Rechnung, die im Anschluss erklärt wird.

Wir möchten diese Gleichung nach x umstellen. Am Ende möchten wir damit x = irgendetwas dastehen haben. Wie erreichen wir dies? Die Rechnung sieht so aus:

• Zunächst berechnen wir 8 · 3 = 24.
• Wir haben nun die 24 und das x auf einer Seite der Gleichung und 34 auf der anderen Seite.
• Die 24 auf der linken Seite stört uns noch.
• Um eine +24 weg zu bekommen müssen wir - 24 rechnen. Was wir machen schreiben wir hinter ein |.
• Bei einer Gleichung muss man das was man auf der einen Seite macht auch auf der anderen Seite machen.
• Daher ziehen wir die 24 von der 34 ab. Es bleibt x = 10 stehen.

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Beispiele Term / Gleichung umstellen

Hier sollen noch einige komplizierte Beispiele vorgerechnet werden, auch mit zwei Variablen.

Beispiel 1:

Stelle die Gleichung 3x + 5x - 10 = 6 nach x um.

Lösung:

Wie berechnet man dies? Zunächst fassen wir 3x + 5x zusammen zu 8x. Danach schaffen wir die -10 weg, indem wir + 10 rechnen. Was wir machen schreiben wie immer hinter ein |.Dadurch wird auf der rechten Seite aus 6 nun 16. Bleibt uns 8x = 16 erhalten. Um nun nach x aufzulösen teilen wir noch durch die Zahl vor dem x, also durch 8. Auf der rechten Seite erhalten wir dadurch 16 : 8 = 2.

Beispiel 2:

Es folgt ein Beispiel mit zwei Variablen. Auch diese Gleichung soll nach x aufgelöst werden. Die Gleichung lautet xy -2y + 23 = 34.

Lösung:

Wie rechnet man dies?

• Zunächst noch einmal zur Erinnerung: Es soll nach x aufgelöst werden. Am Ende soll x = irgendwas dastehen.
• Zunächst muss die +23 entfernt werden, daher rechnen wir auf beiden Seiten der Gleichung -23.
• Die -2y stört ebenfalls auf der linken Seite, daher rechnen wir +2y. Auf der linken Seite entfällt dies nun und rechts erhalten wir +2y.
• Auf der linken Seite steht noch xy. Wir haben also eine Multiplikation aus x und y.
  • Eine Multiplikation wird beseitigt, indem man dividiert.
  • Wir teilen damit durch y.
  • Auf der linken Seite bleibt einfach x stehen.
  • Auf der rechten Seite müssen wir jeden Term durch y teilen.
    • Dadurch erhalten wir 11 : y.
    • Und wenn wir 2y durch y teilen bleibt einfach nur 2 übrig.

Aufgaben / Übungen Terme umformen

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Videos Terme

Beispiele zu Termen

Im nächsten Video dreht sich alles rund um Terme und Termumformung. Dies sehen wir uns an:

• Terme Grundlagen und Zusammenfassung.
• Aufgaben und Beispiele für Terme.
• Wie funktioniert das Zusammenfassen von Termen?
• Einige Aufgaben zu Termumformungen / Zusammenfassung.

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Fragen mit Antworten Terme und Gleichungen

Kann man x hoch 2 und X zusammenfassen?

Was ist hoch minus 2?

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Wie löse ich X hoch 2 auf?