Zweierkomplement einfach erklärt
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(00:13)
Das Zweierkomplement ist eine Darstellungsform für binäre Zahlen, mit dem man positive und negative Zahlen abbildet. Es ist die am häufigsten verwendete Form in der Digitaltechnik, da damit direkte Rechenoperationen, wie Addition oder Multiplikation, ohne Umrechnungen möglich sind.
Zweierkomplementdarstellung
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(00:30)
Im Binärsystem gibt es kein Vorzeichen so wie wir es kennen. Falls du nicht genau weist was das Binärsystem ist, schaue dir unbedingt unser Video zu Zahlensystemen an! Ein weiteres Beispiel, wie man einen Binärcode aufstellt, findest du auch in unserem Video zur Hamming-Distanz , welches du dir ebenfalls gerne ansehen kannst.
Um nun negative und positive Zahlen im Binärcode abzubilden, benutzt man ein Bit als Vorzeichen. Dabei gibt es verschiedene Varianten. Beim Least Significant Bit (LSB) Verfahren wird das Bit 0, also das am weitesten rechts stehende Bit, für das Vorzeichen genutzt. Damit kann man aber trotzdem nicht ohne weitere Umformungen rechnen. Deshalb wird im Zweierkomplement das Most Significant Bit (MSB), also das Bit welches am weitesten links steht, als Vorzeichenbit genutzt. Dabei steht eine 0 an der MSB-Stelle für positive Zahlen. Im Umkehrschluss dient dementsprechend eine 1 als negatives Vorzeichen.
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Most Significant BitIm 2er Komplement kann man einen Wertebereich von
darstellen. In dieser Formel steht
abbilden. Um Verwechslungen zu vermeiden zeigen die tiefgestellten Symbole an, welche Darstellungsform genutzt wird. Die Tiefgestellte 2 steht für das Binärsystem, und die tiefgestellte 10 für das Dezimalsystem.
Wie du diese Werte berechnen kannst, zeigen wir dir im nächsten Kapitel.
Zweierkomplement bilden
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(01:16)
Eine Binärzahl wird ins 2er Komplement gewandelt, indem die einzelnen Bits erst invertiert und dann eine 1 hinzuaddiert wird. Schau dir folgendes Beispiel an. Du willst die Zahl
Im nächsten Schritt invertierst du die einzelnen Stellen der Binären Zahl. Invertieren bedeutet, dass du jede 0 mit einer 1 und jede 1 mit einer 0 vertauscht. Für unsere Zahl folgt dementsprechend
Zum Schluss muss noch eine 1 addiert werden
und du hast erfolgreich das Zweierkomplement gebildet.
Zweierkomplement umwandeln
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(01:58)
Vor der Umwandlung zum Dezimalsystem musst du zuerst das MSB ansehen. Ist diese eine 0, kannst du die Zahl direkt umrechnen. Ist das MSB jedoch eine 1 musst du den Binärcode invertieren, danach eine eins dazu addieren und zum Schluss erst ins Dezimalsystem umwandeln. Als Beispiel führen wir diese Überlegungen an
und daraufhin eine 1 addierst.
Jetzt musst du dir das negative Vorzeichen noch dazu denken und du erhältst die anfangs gegebene
Du rechnest also
und erhältst so auch die
Zweierkomplement Addition
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(02:52)
Wichtige Grundlagen zum Rechnen im Binärcode findest du in unserem Video zur Booleschen Algebra . Zur Addition zweier Binärzahlen kannst du die sogenannte Schulrechenmethode benutzen. Das bedeutet, dass du die zu addierenden Zahlen untereinander schreibst, und die Bits nacheinander zusammenzählst, angefangen beim LSB. Das erkennst du am besten an einem Beispiel. Dazu wollen wir die einfache Rechnung
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Zweierkomplement – AdditionDu siehst bei dieser Beispielrechnung, dass wenn man zwei Einsen in einer Spalte addiert eine 0 entsteht und eine 1 als Übertrag in die nächste Spalte wandert. Wandelst du zum Schluss das Ergebnis
Zweierkomplement Subtraktion
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(03:27)
Die Subtraktion basiert auf dem selben Prinzip wie die Addition. Willst du also
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Zweierkomplement – SubtraktionFührst du die Addition mit der Schulrechenmethode wieder durch, erhältst du als Ergebnis
Zweierkomplement Multiplikation
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(03:36)
Die Multiplikation im Zweierkomplement wird durch Erweiterung, Verschiebung und Addition bewerkstelligt. Schauen wir uns dazu das Beispiel
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Zweierkomplement – MultiplikationAls erstes multiplizierst du den ersten Faktor (
Zweierkomplement Rechnen
Zur Vertiefung kannst du dir folgende Beispielaufgabe anschauen. Rechne
Zuerst addierst du die Binärzahlen in der Klammer zusammen und erhältst
Wenn du nun die Multiplikation durchführst bekommst du
Diese Zahl kannst du in Dezimalform umwandeln und somit findest du das Ergebnis
Einerkomplement bilden
Das Einerkomplement ist ebenfalls eine Möglichkeit negative Ziffern darzustellen. Man bildet, es indem man die Bits einer Binärzahl negiert. Als Beispiel kannst du das Einerkomplement von
Im nächsten Schritt musst du nur noch alle Bits invertieren
und du erhältst das Einerkomplement der Zahl
Einerkomplement Zweierkomplement
Der Nachteil vom Einerkomplement ist, dass es in dieser Zahlendarstellung zwei Werte für die Null gibt, einmal